Zuerst die Bedeutung des Sprichworts (laut Wiktionary):
[1a] deutet an, dass ein Kind Eigenschaften und Verhaltensweisen von den Eltern übernimmt.
[1b] im übertragenen Sinne; bildlich: abstammende Dinge, Erscheinungen weisen gemeinsame Merkmale mit den Dingen und Erscheinungen auf von denen sie abstammen
Das Bild ist meiner Ansicht nach sehr klar: Ein Apfel, der zu Boden fällt, wird nie weit vom Stamm des Baums entfernt zu finden sein - so wie die Eigenschaften eines Kindes denen der eigenen Eltern häufig ähnlich sind.
Im Web kursiert eine Geschichte über die Herkunft des Sprichworts, die meines Erachtens völliger Schwachsinn ist. Darin wird behauptet, das Wort Apfel sei eine Abwandlung des angeblich germanischen Abfells. Die weiteren Details der Geschichte erwähne ich nicht.
Ich habe das Wort Abfell in keiner verlässlichen Quelle gefunden. Außerdem werden auf einer der Seiten, die die Herkunft derartig beschreiben, andere Sprichwörter und Redensarten "erklärt", die auch absolut unglaubwürdig sind und auf einen fiktiven estnischen Sprachenforscher zurückgehen sollen.