These, I spontaneously call them Ausfluchtsformulierungen (evasion phrases) now – I'm pretty sure there exists a better, official term[1]. (If not, I hereby grant permission for citation (–:
- dürfte ich, darf ich → "Sorry, but no, not now."
- möchte ich → "Sorry, but I don't have the time to take care of what you want atm."
- würden sie → "I would if I had time atm."
- "so schnell es Ihnen möglich ist" → "Sorry, in three weeks is the fastest possible."
... give the addressee the opportunity to...evade.
Sehr geehrter / Lieber [depending on how close you are to the boss] Herr N.!
Um [den Auftrag / die Bestellung / die Lieferung] AAA ... [be specific]
... für PPP ... [involve persons]
... bis TTT ... [give a concrete point in time, depending on how urgent it is, use an uneven time, e.g 11:53, this attracts attention: "Why the heck exactly at 11:53?"]
... erledigen zu können, bitte ich Sie, das Angebot / den Vertrag ... [be specific, Dokument is too general]
... RRR [include a comprehensible reference your boss is supposed to know] ...
... zu unterzeichnen und mir rasch zukommen zu lassen.
Mit freundlichem Gruß [you only greet once with one writing (assumed that you don't suffer from schizophrenia ;-) and it attracts attention since it's not that usual compared to the plural]
N.N.
Use formatting, if possible, to highlight crucial parts.
Which then, for instance, becomes:
Lieber Herr Müller!
Um Ihre Frage „How to ask your Boss politely to sign a document a little bit faster?“ für unsere geneigten Leser bis morgen, 17:21 zufriedenstellend beantworten zu können, bitte ich Sie, meine Antwort vom 19. Oktober als akzeptierte zu zeichnen und mir so die Reputationspunkte rasch zukommen zu lassen.
Mit freundlichem Gruß
Hans Mustermann
PS:
- ↑ See Konjunktiv II, Höflichkeitsform: "Die Möglichkeitsform dient hier dazu, um den Wunsch oder den Anspruch auf Erfüllung förmlich abzumildern." AFAIU you don't want "abmildern". You need it more or less urgently, don't you?