A quote from DUDEN Das Herkunftswörterbuch Etymologie der deutschen Sprache, 3. Auflage, 2001. ISBN 3-411-04073-4:
On Page 536:
Mohn: Der Name der alten Kulturpflanze (mhd. mān, māhen, ahd. māho, mago) hängt zusammen mit griechisch mḗkōn »Mohn« und mit der slaw. Sippe von russ. mak »Mohn«. Der den Germanen, Slawen und Griechen gemeinsame Pflanzenname ist wahrscheinlich in sehr alter Zeit aus einer Mittelmeersprache entlehnt worden. Die Mohnpflanze stammt aus dem Mittelmeergebiet. - Im germ. Sprachbereich ist der Name außer im Dt. auch bewahrt in niederl. maankop »Mohnkopf« und im schwed. vallmo »Mohn« (eigentlich »Rauschmohn«)
mhd. = Mittelhochdeutsch = Middle High German (MHG)
ahd. = Althochdeutsch = Old High German (OHG)
slaw. = slawisch = Slavic
russ. = russisch = Russian
germ. = germanisch = Germanic
Dt. = Deutsch = German
niederl. = niederländisch = Dutch
I try to translate:
Mohnpoppy: The name of the ancient cultivated plant (HMG. mān, māhen, OHG. māho, mago) hangs together with the Greek mḗkōn "poppy" and with the Slavic Tribe of Russian mak "poppy". The common name of the Germans, Slavs and Greeks was probably borrowed from a Mediterranean language in ancient times. The poppy plant originates from the Mediterranean area. - In Germanic Linguistic area the name is not only preserved in German but also in Dutch maankop "poppy head" and in swedish vallmo "poppy" (actually "opium poppy")
Also the »Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache« (DWDS) (digital dictionary of German language) shows the Etymology of »Mohn«:
Mohn m. Der Name der seit alters bekannten Ölpflanze lautet ahd. mago (9. Jh.) und (ablautend mit grammatischem Wechsel) ahd. māho (10. Jh.; ebenso asächs. māho), woraus (mit auslautendem -n aus den flektierten Kasus) mhd. māge(n), māhen, mān (mnd. mān) und auch das doch wohl mit Länge anzusetzende ahd. mān (Hs. 13. Jh.). Daneben stehen die Zusammensetzungen nd. Mahnkopp, nl. maankop (d. i. ‘Mohnkopf’, nach der runden Fruchtkapsel) und norw. valmue, schwed. vallmo, aschwed. valmoghe, d. i. ‘Schlafmohn’, vgl. norw. (mundartlich) vale ‘tiefer Schlaf’, schwed. (mundartlich) valbjörk ‘Kreuzdorn’, eigentlich ‘Schlafdorn’, vgl. gleichbed. schwed. sömntorn. Außergerm. vergleichbar sind griech. mḗkōn (μήκων), kslaw. makъ, russ. mak (мак). Da der Mohn aus dem Mittelmeergebiet stammt, kann eine alte Entlehnung ie. *mā̌k- bzw. *mā̌ken- aus einer Mittelmeersprache angenommen werden. Nhd. hält sich Mahn bis ins 18. Jh. (in Mundarten bis heute); Verdunklung des Vokals setzt im 15. Jh. ein, und vom 18. Jh. an wird Mohn allgemein üblich.
My translation:
Mohnpoppy masculine. The name of the oil plant known since ancient times is OHG. mago (9th century) and (with vowel gradation and grammatical change) OHG. māho (10th century, also Old Saxon māho), from which (with final -n from the inflected case) MHG māge(n), māhen, mān (Middle Low German, mān), and also the OHG. mān (Hs. 13th century). Next to it are the compositions Low German Mahnkopp, Dutch maankop (this is 'poppy head', after the round fruit capsule) and Norwegian valmue, Swedish vallmo, Old Swedish valmoghe, this is 'Opium poppy', compare Norwegian (dialect) vale 'deep sleep', Swedish (dialect) valbjörk 'buckthorn', actually 'purging buckthorn', compare with same meaning Swedish sömntorn. Non-Germanic comparable are Greek mḗkōn (μήκων), Church Slavic makъ, Russian mak (мак). Since the poppy comes from the Mediterranean area, an old borrowing like *mā̌k- or *mā̌ken- may be adopted from a Mediterranean language. New High German Mahn holds until the 18th century (in dialects up to the present); Dimming of the vowel begins in the 15th century, and from the 18th century Mohn becomes common practice.
DWDS also shows an etymology of Manna:
Manna n. ‘Himmelsbrot’, die dem Volke Israel von Gott gegebene Speise in der Wüste, übertragen ‘wundersame körperliche oder geistige Stärkung’, ahd. (8. Jh.), mhd. manna, Übernahme von spätlat. manna, griech. (biblisch) mánna (μἀννα), aram.* mannā,* hebr. mān. Dieses aus ägypt. menna ‘Pflanzensaft’? Gedeutet teils als Honigtau, teils als (entsprechend benannte) Mannaflechte; doch beides ist fraglich. Dazu verdeutlichendes spätmhd. mannabrōt.
My translation:
Manna neuter. 'Bread of heaven', the food given to the people of Israel by God in the desert, transmits 'miraculous physical or spiritual strengthening', OHG. (8th cent.), MHG. manna, adoption of late latin manna, Greek (biblical) mánna (μἀννα), Aramaic mannā, Hebrew mān. This from Egypt. menna 'vegetable juice'? Partly interpreted as honeydew, partly as (correspondingly named) mannalichen; but both are questionable. For clarifying late MHG. mannabrōtmanna bread.
So, what I can say from this sources:
The etymological root of Mohn is a word like "mak" or "maken", which contains a K but no N in a "Mediterranean language".
But the etymological root of Manna is Aramaic "manna", Hebrew "man" and Egypt "menna" where you can't find a K but an N.
German Wikipedia has an article about old Mediterranean languages: Altmediterrane Sprachen It lists among many others Etruscan, Sicanian, Minoan, Hattic, Hurrian and Urartian. But of course also some Afroasiatic and Semitic languages belong to this group.