Ich werde einen Brief an meinen Vater schreiben.
Correct. You could also shorten it to Ich werde meinem Vater einen Brief schreiben
.
Ich möchte einen Mantel meinem Bruder kaufen.
I'm not sure if this is grammatically correct, but it's awkward to the point of confusing a native speaker. You'd rearrange it to Ich möchte meinem Bruder einen Mantel kaufen
or use the third example:
Ich möchte einen Mantel für meinen Bruder kaufen.
Hopefully somebody better versed in grammar knows or can reverse-engineer the actual rules.
By the way, you can take liberties with the word order. At least the following sentences are equivalents for the first example:
Ich werde einen Brief an meinen Vater schreiben.
An meinen Vater werde ich einen Brief schreiben.
Einen Brief werde ich an meinen Vater schreiben.
Ich werde meinem Vater einen Brief schreiben.
Meinem Vater werde ich einen Brief schreiben.
Einen Brief werde ich meinem Vater schreiben.
The first and fourth are the versions you're most likely to encounter "in the wild". I believe it is also possible to put the verb first, but even if the grammar were to allow it, these sound very awkward:
Schreiben werde ich einen Brief an meinen Vater.
Schreiben werde ich meinem Vater einen Brief.
Schreiben werde ich einen Brief an meinen Vater.