To specifically address the title of your question:
- einräumen: Putting something into something.
- aufräumen: Arrange things to reduce chaos.
- verräumen: This can be used like einräumen. I would say it is a bit more archaic; I heard this often at the Bundesmarine, whose soldiers often use a special slang. Also heard often there was verbringen (which also has other meanings)
You can use aufräumen, but the phrase has then a different meaning.
Während ich ins Schlafzimmer meiner Kinder ging, habe ich ihre Spielsachen verräumt.
This just means you lift the toys to somewhere else.
Während ich ins Schlafzimmer meiner Kinder ging, habe ich ihre Spielsachen eingeräumt.
This specifically means you have put the toys into something.
Während ich ins Schlafzimmer meiner Kinder ging, habe ich ihre Spielsachen aufgeräumt.
This means you reduced chaos among the toys, but does not necessarily mean you have cleared up the room. You could also say:
Während ich ins Schlafzimmer meiner Kinder ging, habe ich dieses aufgeräumt.
Though we usually say "Kinderzimmer":
Während ich ins Kinderzimmer ging, habe ich dieses aufgeräumt.
I think you phrase contains a little fallacy: You did not really clear up the room while walking into the room, right?
Ich ging ins Kinderzimmer und räumte dieses auf.
== I went into the kid's room and cleaned it up.
Während ich ins Schlafzimmer meiner Kinder ging, habe ich ihre Spielsachen aufgeräumt.