All of those words comprise a form of worry from the caring person's part, implying that you take personal responsibility (as in case of the cat). However, I don't quite agree with the first answer.
I think "versorgen" is the most emotionally neutral verb of them, however, its meaning is rather limited:
"jemanden mit etwas versorgen" - to supply someone with something they need
Das Rote Kreuz versorgte die Wartenden im Stau mit heißen Getränken.
"jemanden versorgen" - to take care of someone's needs
Als Krankenpfleger versorge ich pflegebedürftige Menschen.
Ein Bauer versorgt morgens zuerst die Kühe, bevor er frühstückt.
"umsorgen" does not necessarily have to do with someone's need to be cared for. The caring person may just have the wish to do so. It is often associated with, but not defined as, a motherly desire to minimize any discomfort to your protegé.
Ein müder Gast wird von der Gastgeberin mütterlich umsorgt.
"kümmern" can be applied to almost anything. Although the word "Kummer" (woe, suffering) refers to a deeper emotional affection than "Sorge" (worry), it is usually used in the sense of devoting your time and attention to whatever-it-is. It is also less specific regarding what exactly is to be done, and can refer to anything that will become necessary in the named context.
Morgen kannst du dich um die Kinder kümmern. (Mit ihnen spielen, ihnen Essen machen, ihre Streits schlichten.)
Ich muss mich um die Steuererklärung kümmern. (Und alle meine Quittungen zusammensuchen, Rechnungen aufstellen, Kontoauszüge finden...)
Kannst du dich um die Projektdokumentation kümmern? (Und alles Notwendige veranlassen, wie z.B. Informationen zusammentragen, einen Redakteur finden.)