Klappe ist in diesem Zusammenhang das Gleiche wie "Klatsche", nur dass diese Begriffe aus verschiedenen Regionen kommen.
Auch Sprichwörter ändern sich durch Regionen. Wir in Österreich sagen z.B. "Zwei Fliegen auf einen Streich" oder "Zwei Fliegen auf einen Schlag".
Wobei all diese Wörter bzw. Sprichwörter das Gleiche meinen: Zwei Probleme mit einer Lösung lösen.
Die Herkunft ist nicht genau bekannt, jedoch tippen mehrere Quellen auf die Herkunft von einem Märchen der Gebrüder Grimm (Das tapfere Schneiderlein).
http://uli.söhnel.info/redewendungen/135.php
Die Redensart ist entweder Anlass für eine Episode
im Märchen vom tapferen Schneiderlein der Gebrüder Grimm gewesen, oder
sie hat sich erst sekundär daraus gebildet. Bekanntlich gelingt dem
Schneiderlein die Großtat, gleichzeitig sieben Fliegen mit einer
Klappe zu schlagen.