In many cases, dran is a short form of daran. However, there are also cases in which dran cannot be replaced by daran. Your example is one of them:
Morgens bin ich immer spät dran. (Correct)
Morgens bin ich immer spät daran. (Incorrect)
This is because there are actually two words dran which are similar yet distinct. The first is the shortened, colloquial form of the pronominal demonstrative pronoun daran. It can always be replaced by the more formal daran but also typically by something like an der/die Sache.
Wir bauen neben unser Haus einen Schuppen. Der soll direkt dran anschließen.
Der soll direkt daran anschließen.
Der soll direkt an das Haus anschließen.
Diese Veranstaltung geht bis zwölf. Im Anschluss d(a)ran findet die Veranstaltung Wie wasche ich meinen Mitmenschen den Kopf im Hörsaal zwei statt.
Im Anschluss an diese Veranstaltung findet […]
The second case is an adverb dran which cannot be replaced by daran but only occurs in a few set phrases. For example:
(when playing a board game)
Wer hat gerade gewürfelt? Bin ich dran?
Heute bin ich ausnahmsweise mal früh dran. Senile Bettflucht.
Was ist dran an den Vorwürfen, dass führende AfD-Politiker »Lügenpresse«-Zeitungen lesen?