Ich bin sprachlich im Ruhrgebiet sozialisiert worden. Hier gibt es noch Reste eines alten niederdeutschen Substrats, die sich in der Umgangssprache teilweise bis heute gehalten haben. Bis auf den heutigen Tag trifft man hier auf Menschen, die ein anderes Kasussystem haben und z.B. bei der Anrede den Akkusativ als Vokativ benutzen oder beim Dativ auf einen 'Akkudativ' als Einheitskasus für Nicht-Nominativ ausweichen. (Ey du Doowen, pass bloß auf, ich gipp dich gleich 'du Eierkopp'!)
Vor diesem Hintergrund verstehe auch ich wie Olafant das gesamte unser Oma ihr klein Häuschen als Akkusativ. Darin ist unser' Oma ein Possessiv, eine gängige Konstruktion zur Genitivvermeidung. Man könnte hier z.B. auch sagen 'von unser Omma dat Haus' oder 'von unsere Omma dat Haus'.
Der Oma ihr klein Häuschen ist hierzulande praktisch ein geflügeltes Wort für 'das Häuschen von der Oma' - vermutlich, weil der Titel des seinerzeit bekannten Karnevalsschlagers als Refrain bis zum Gehtnichtmehr wiederholt wurde.
Dazu ein aktuelleres Beispiel aus dem Hellweger Anzeiger: "Wenn Oma ihr klein Häuschen für die Pflege draufgeht" (30.08.2018, die Zeitung erscheint im Raum Dortmund - Unna - Kamen - Soest, also im Westfälischen.) Hier wurde auch die damit assoziierte Bedeutung 'ein wertvoller Besitz verliert jeden Wert' genutzt.
Ihr klein Häuschen ist klar Akkusativ, weil das Objekt von etwas versaufen im Akkusativ kommt. Unser Oma kann Akkusativ oder Dativ sein, aber nicht im Sinne eines Objekts zu versaufen, sondern als Teil einer Possessivkonstruktion. Analoge Konstruktionen wären von mein Vatter die Cousine = den seine Cousine (auch von meim Vatter die Cousine = dem seine Cousine); im Femininum stelle ich mir das eher als Akkusativ vor: von meine Omma die Tante, abgekürzt zu von mein' Omma die Tante; mit Dativ (von meiner Omma die Tante) wäre das praktisch hochsprachlich. Allerdings sagt man 'pronominal' begleitend (besser: 'determinierend') immer der ihre Tante und nie die ihre Tante.
Das Problem ist, dass hier heute weder Dialekt noch Hochdeutsch gesprochen wird, sondern verschiedene Zwischenformen, jedoch weitestgehend Hochdeutsch. Darum lässt sich der Kasus von 'unser Oma' je nach Dialekt'tiefe' anders auffassen. Für mein Regelbewusstsein handelt es sich weder um einen Pertinenzdativ ('Betroffenheitsdativ' wie bei 'man hat ihr den Führerschein weggenommen') noch eindeutig um einen possessiven Ersatzdativ für den Genitiv, sondern am ehesten um einen possessiven Ersatz-Akkudativ. Die meisten werden hier jedoch einen Ersatzdativ vermuten.
Hinzu kommt, dass bei einer Liedzeile das Versmaß stimmen muss, was mit ein Grund dafür gewesen wäre, die Endungen bei 'unser' und 'klein' wegzulassen. Solche Weglassungen gibt es sonst nur in formelhaftem Sprachgebrauch (z.B. 'auf gut Wetter machen').
Zur Bedeutung des Liedes ist bei Wikipedia nachzulesen, dass es in der Zeit der Hyperinflation Anfang der 20er Jahre des letzten Jahrhunderts entstand. Die ursprüngliche Pointe 'unser Geld ist nichts wert' wurde ab den 50ern im Westen zu einem reinen Hau-weg-auf-Ex-Saufschlager banalisiert.
Noch ein letztes dazu, was 'besser' wäre: Die Frage, wie der niederdeutsch beeinflusste Satz grammatisch aufzufassen ist, ist eine andere Frage als: Wie kann man den Satz in gutes Standarddeutsch übertragen? Das ist bereits beantwortet. Das Ergebnis wir versaufen das Häuschen unserer Oma ist jedoch inhomogen, denn 'versaufen' ist saloppe Umgangssprache und damit Substandard; die Redundanz des doppelt gemoppelten 'klein Häuschen' wurde zwar auf 'Häuschen' reduziert, aber ein Genitiv ist eher gutem bis gehobenem Standarddeutsch zuzuordnen. Letzteres ließe sich auch so lösen: Wir versaufen das Häuschen von unserer Oma. Ganz abwegig wäre eine Interpretation als wir vertrinken unserer Oma kleines Haus. Vorangestellte Genitivattribute gibt es nur in stehenden Wendungen wie jeder ist seines Glückes Schmied oder das ist nicht jedermanns Sache, ansonsten sind sie archaisierend und werden heute nur noch in sehr eingeschränktem Rahmen neu gebildet.
