Gewissermaßen bedeutet so viel wie sozusagen, quasi.
Hast du ein Problem gewissermaßen gelöst, kann das bedeuten, dass es noch nicht ganz gelöst ist, aber fast. Es fehlt wahrscheinlich nur noch ein kleiner Baustein.
Gewissermaßen, sozusagen als auch die Phrase 'bis zu einem gewissen Maße' haben jedoch auch noch eine zweite Konnotation, die meines Erachtens in diesem Kontext überwiegt. Ist ein Problem gewissermaßen oder sozusagen gelöst, ist das Problem nicht wirklich gelöst, sondern nur ein Weg gefunden worden, dass das Problem nicht mehr auftritt. Man arbeitet also drum herum, also ein Workaround.
Quasi kann diese andere Bedeutung auch tragen, in diesem Kontext überwiegt hier aber meinem Empfinden nach immer noch erstere Bedeutung.
Einigermaßen passt im Kontext nicht ganz, auch wenn es durchaus fast bedeuten kann. Das Wort verwendet man beispielsweise eher, wenn man sagt, dass es einem 'einigermaßen gut geht'. Es geht einem nicht richtig gut, aber fast.
Im gegebenen Kontext klingt es eher wie 'es ist zwar gelöst, aber ich bin damit nicht zufrieden'.
Ansatzweise bedeutet, dass du nur einen kleinen Teil gelöst hast. Im Ansatz halt, wie das Wort ja besagt. Ansatzweise ist to a lesser extent im Vergleich zu to some extent, falls du verstehst, was ich meine.
Halbwegs und teilweise sind für mich hier gleichbedeutend. Während Ersteres suggeriert, dass man die Hälfte geschafft hat, gibt Letzteres keine wirklich Information zu erkennen. Dennoch interpretiere ich es gleichermaßen.
Abgesehen von einigermaßen können alle diese Wörter im Kontext sinnvoll verwendet werden, auch wenn man sich deren Bedeutungsunterschiede bewusst sein sollte.