Es handelt sich in der Tat um einen Relativsatz. Mein Grammatik-Duden (Paragraph 1289) sagt dazu:
Wenn sich ein Relativpronomen (als Subjekt des Relativsatzes) auf ein Personalpronomen der 1. oder 2. Person bezieht, wird normalerweise nach dem Relativpronomen die passende Nominativform des Personalpronomens eingefügt:
Wir, die wir immer vor zu engen Beziehungen gewarnt haben, werden nun mit angegriffen.
Das Finitum des Relativsatzes sowie vorkommende Reflexiv- oder Possessivpronomen kongruieren dann mit dem Personalpronomen (nicht mit dem Relativpronomen):
Ich, der ich in dieser Situation mein Bestes versucht habe ... [...]
[...] Weglassung des Personalpronomens kommt aber durchaus häufiger vor [...]:
Was kann ich tun, der ich krank und hilflos bin? (Auch möglich:) Was kann ich tun, der krank und hilflos ist?
Der Fettdruck obiger Beispielsätze ist von mir; die Kursivsetzung einzelner Wörter stammt vom Duden selbst.
Betrachten wir nun deinen/Gaucks Relativsatz:
... die wir uns ein ganzes Leben lang nach Freiheit gesehnt hatten ...
Weil sich das Relativpronomen (die) auf die 1. Person Plural (wir) des übergeordneten Satzes bezieht, wird das Personalpronomen (wir) im Relativsatz wiederholt. Beim Verb sich sehnen wird das Reflexivpronomen (sich) an das Personalpronomen angepasst und zu uns. Das finite Verb (hatten) richtet sich dabei nach dem Personalpronomen (wir, 1. Person Plural) und nicht nach dem Relativpronomen (die, 3. Person Plural), obwohl man den Unterschied natürlich nicht bemerkt, weil beide Formen gleich sind (die ... hatten vs. wir ... hatten). Würde man den Relativsatz ohne wir formulieren, müsste er
... die sich ein ganzes Leben lang nach Freiheit gesehnt hatten ...
lauten, wobei sich dann Reflexivpronomen (sich) und finites Verb (hatten) am Relativpronomen der 3. Person Plural (die) orientieren würden.