Solche Verdoppelungen versucht man tatsächlich zu vermeiden.
Lass uns uns treffen wird meistens so formuliert:
Lass treffen! (sehr plump, nur unter guten Freunden)
Lass uns mal treffen.
Lass uns doch (ein)mal treffen.
Bei Gesprächen mit Autoritäten (Lassen Sie…) würde ich nur den dritten Satz empfehlen.
Ob und wie man Lass mich mich waschen umformuliert, hängt von der intendierten Aussage ab. Unverändert wäre er nur bei einer Situation denkbar, in der das Gegenüber das Badezimmer/Waschbecken spaßeshalber blockiert oder man sonst irgendwie gezielt daran gehindert wird, sich zu waschen. Jedoch würde man hier wohl auch auf einen eleganteren Satz ausweichen:
Lass mich vorbei!
Lass mich ins Badezimmer!
Lass mich ans Waschbecken!
Ist der Gesprächspartner ungeduldig, würde man ihn so besänftigen:
Warte (noch kurz), bis ich mich gewaschen habe.
Ich wasche mich nur noch kurz.