So wie viele andere Wörter können auch erinnern, besinnen und entsinnen unterschiedliche Bedeutungen haben, sodass sie nicht unbedingt gegeneinander ausgetauscht werden können. In Duden – Deutsches Universalwörterbuch werden die folgenden Bedeutungen genannt:
erinnern
1. im Gedächtnis bewahrt haben und sich dessen wieder bewusst werden
2. a) die Erinnerung an jemanden, etwas bei jemandem wachrufen; wieder ins Bewusstsein rufen
b) veranlassen, an etwas zu denken, jemanden, etwas nicht zu vergessen
c) durch seine Ähnlichkeit ins Bewusstsein bringen
3. (veraltend) vorbringen, zu bedenken geben
besinnen
1. nachdenken, überlegen
2. a) sich an jemanden, etwas erinnern
b) sich bewusst werden
3. bedenken, über etwas nachsinnen
entsinnen
sich etwas wieder ins Gedächtnis rufen; sich erinnern
Speziell der in der Frage genannte Ausdruck ist allerdings mit allen drei Verben möglich. In Duden – Das Stilwörterbuch findet man die entsprechenden Beispiele:
wenn ich mich recht erinnere, war er vor fünf Jahren hier
wenn ich mich recht besinne, war sie schon einmal hier
wenn ich mich recht entsinne, …
Das Verb entsinnen ist dort explizit als gehoben gekennzeichnet. Allerdings ist sicherlich auch das Verb besinnen gehobener als das gewöhnliche erinnern.
Laut duden.de kommt erinnern häufiger vor als besinnen und das wiederum häufiger als entsinnen. Dabei wird jedoch nicht zwischen den verschiedenen Bedeutungen unterschieden.