The word order in your first example puts an emphasis on what happened to your teeth:
Ich habe meine Zähne zu putzen vergessen
Ich habe meine Zähne zu Hause vergessen
Ich habe meine Zähne grün angemalt und sie anschließend fotografiert
If you reorder to "ich habe vergessen", the emphasis shifts to the fact that you forgot something:
Ich habe vergessen, meine Zähne zu putzen
Ich habe vergessen, meine Zähne zu putzen und die Haustür abzuschließen
Ich habe schon wieder vergessen, die Katze zu füttern
This may not seem to make a big difference, but the "first things first" pattern is one way to direct the readers attention. Admittedly, this may take effect depending on certain expectations and habits of the reader as to the structure and overall context of a sentence. In spoken language, the effect of the word order is still valid but you can overrule it by accentuating a word phonetically.