Please keep in mind that the meanings of bearbeiten and umarbeiten tend to blend into each other the more you're thinking of really distinctive examples; that's mainly due to special contextual and regional habits of using them, although from their basic meanings, you can quite well distinguish them. I will include überarbeiten because it is also important in that context.
Bearbeiten basically means to work (on) sth. You take a workpiece and work on it. Whether it already had been worked on previously or not is not a primary concern, but the meaning shifts to revising or editing the more abstract and intellectual a workpiece is:
Er bearbeitete den Marmorblock mit wuchtigen Schlägen, bis eine rohe Figur entstand. (worked)
Das Drehbuch musste mehrmals bearbeitet werden, bis es den Produzenten gefiel. (revised)
But here it is getting tricky, because you might as well hear or read:
Das Drehbuch musste mehrmals umgearbeitet / überarbeitet werden, bis es den Produzenten gefiel.
In the sense of "revised", "bearbeiten" more often signifies changing a workpiece in order to achieve the goal the maker of the workpiece had originally in mind but couldn't yet accomplish. To say something is being changed for a new purpose, you would rather use umarbeiten, but in some cases, and if only minor changes are involved, also "bearbeiten" will be used for this:
Die Kurzgeschichte wurde für den Hörfunk bearbeitet.
There are, as Ingmar already pointed out, uses of "bearbeiten" which don't fit into that scheme:
Der Antrag konnte nicht bearbeitet werden, weil Unterlagen fehlten. (processed)
Sie können dieses Foto auf Ihrem Computer mit unterschiedlichen Programmen bearbeiten. (edit)
Er bearbeitete sie so lange, bis sie sich breitschlagen ließ, mit ihm zu kommen. (pester)
Umarbeiten basically means to remodel or reshape something already accomplished to fit a new purpose:
Der Mantel wurde zu einer Jacke umgearbeitet. (made over)
Das Drehbuch wurde mehrmals umgearbeitet, bis aus einem Kriegsdrama eine Komödie geworden war. (adapted, remade)
Überarbeiten explicitly means revising something in order to make it better, or just different:
Der Plan musste überarbeitet werden, weil sich Teile des Geländes als sumpfig herausstellten.
In new editions of books you will find the terms bearbeitete Auflage, neubearbeitete / neu bearbeitete Aufl. (where you can choose whether it would be a pleonasm or an oxymoron), and überarbeitete Auflage, used not always in keeping with the actual extent of editing, but (to my experience) hardly ever umgearbeitet.