Generell: Der Numerus des Verbs kongruiert mit dem Numerus des Subjekts. Im Beispiel lautet das Subjekt des Satzes (etwas umformuliert, das Schema ist aber dasselbe):
"weder ein Antrag noch eine Genehmigung"
Es handelt sich also um ein mehrteiliges Subjekt, das mit "weder ... noch ...
" verbunden ist. In diesen Fällen sind für das Verb beide Varianten korrekt, das Verb kann also ohne grammatikalischem Regelverstoß entweder im Singular oder im Plural stehen. Besser finde ich (subjektiv) die zweite Variante (Plural), da sie den Hörer darauf vorbereitet, dass nach "kein Antrag" noch mindestens ein weiterer Subjektteil folgt. Die erste Variante wäre, wie gesagt, ebenfalls korrekt, aber m.E. nicht so "hörerfreundlich".
Steht einer der beiden Subjektteile im Plural (siehe hier), gilt grundsätzlich dasselbe. Ausnahme: der pluralische Teil steht näher beim Verb. Beispiel, bei canoo.net abgekupfert und leicht abgewandelt:
"Weder Ihr Antrag noch Ihre Bestechungsgelder veranlassen uns, ein Verfahren einzuleiten".
Hier wäre der Singular "veranlasst" wegen des näheren Plurals "Bestechungsgelder" falsch.
EDIT: Noch ein Link: