English version here.
Im Kontext von (Brett-)Spielen spricht man auch vom "Zug".
Du bist am Zug!
heißt, dass man dran ist. Es wird üblicherweise bei Spielen benutzt, bei denen man tatsächlich Dinge bewegt (zieht), z. B. Figuren oder Karten. Der Begriff wird aber auch breiter verwendet¹.
Die zweite Hälfte deines Beispiels würde ich so übersetzen:
Der Spieler, der am Zug ist, stellt dem anderen Spieler eine beliebige Frage.
Bezüglich deines Übersetzungsversuchs insgesamt: Selbst, wenn man Stephies Wortübersetzung, die hier besser passt, verwendet, ist er nicht sehr schön. Es gibt Redundanzen (auch schon in deiner englischen Version, aber verschlimmert durch wörtliche Übersetzung): Der zweite Satz gibt keine neue Information (außer vielleicht "beliebig", das man auch leicht im ersten Satz unterbringen kann), und der erste Satz enthält dreimal "-spiel-", was schlechter Stil ist.
Ich würde sowas in der Art bevorzugen:
Zwei Personen spielen Frag-mich-was: Sie fragen einander abwechselnd, was immer² sie wollen.
Wie man den Satz nun ausschmückt, hängt vom Kontext ab, den du nicht nennst. Geht es hier um Regeln, eine Erzählung, einen Bericht, …? "Frag-mich-was" ist ein erfundener Spielname, um diese Variante anbieten zu können.
- Die Wendung "Du bist am Zug!" kann man immer dann benutzen, wenn jemand mit etwas dran ist.
- Beachte, dass "immer" hier wichtig ist: "[…], was sie wollen." würde sagen, dass die Spieler sich gegenseitig fragen, was sie sich wünschen.