Im eigentlichen Wortsinn bedeutet »auf sich nehmen«, dass man etwas schweres, also eine Last, trägt. (Entweder auf den Schultern, auf dem Rücken oder auf den Armen).
Wenn die schwere Last nicht in Kilogramm gemessen werden kann, sondern wenn es sich um eine schwere Aufgabe handelt, handelt es sich - im übertragenen Sinn - ebenfalls um eine Last, und die kann man eben - wieder im übertragenen Sinn - ebenfalls auf sich nehmen.
Da der Weg nach Deutschland hier sogar ausdrücklich als »weit« beschrieben wird, darf der Weg als beschwerlich (also als schwer, und somit als eine Last) angesehen werden. Und diese Last kann man auf sich nehmen.