Verbs have prefixes to specify the action (although this might not always be evident). The prefix zer- refers to the outcome. As Em1 has pointed out, it generally means auseinander (usually more than two pieces) and kaputt (broken beyond further use or outright destroyed).
So the general difference is quite simply this:
brechen (intransitive): something breaks, when not flexible enough to resist the exerted pressure.
brechen (transitive): something or somebody exerts pressure and thus breaks something not flexible enough to resist the pressure.
zerbrechen (transitive and intransitive): brechen beyond repair (fact or impression), usually but not necessarily in many pieces, always in a way that the thing cannot fulfill its function anymore.
Example:
“Oh, entschuldige bitte! Ich habe deine (Ton)Vase zerbrochen!”
„Das macht nichts. Sie ist nur in drei Teile gebrochen, ich kann sie kleben. Undicht war sie schon vorher.“
For those who wish for a more detailed explanation, here it is:
Use "brechen":
1. if you intend to put at least one of the remaining pieces to further use:
Ich breche das bunte Glas in kleine Stücke (, um daraus ein Mosaik zu machen).
Ich breche den Zweig (, um mit den Stücken ein Bild zu legen).
Ich breche Brot (, um ein Stück davon zu essen / , um es mit euch zu teilen).
Ich habe eine Blume gebrochen (und sie in eine Vase gestellt).
- when talking about a part of a machine, an apparatus or an organism:
Die Achse droht zu brechen. The axle is on the verge of breaking.
Das Rad ist gebrochen (Kutsche). The wheel has broken.
Viele Äste brachen unter der Schneelast.
Die Metallfeder kann leicht brechen. The spring can break easily.
Er hat sich das Bein gebrochen. He broke his leg.
- "Brechen" is also used in some figures of speech:
jemandem das Herz brechen
jemandes Willen brechen
ein Versprechen brechen
sein Wort brechen
das Schweigen brechen
einen Bann brechen
über jemanden den Stab brechen - condemn someone
einen Fluch brechen
das Eis brechen
für jemanden eine Lanze brechen - take up the cudgels for someone
mit einem anderen Menschen brechen - end a relationship with somebody completely
Use "zerbrechen" if at least the functional capability of something is destroyed (two remaining pieces might do the thing) - the transitive present tense or future tense always indicates the intention to destroy.
der Zauberstab ist zerbrochen - the wizard’s wand has/is broken
ich zerbreche das Glas
Am Selbstmord des Sohnes ist die Familie zerbrochen.
Der Vater ist am Selbstmord seines Sohnes zerbrochen. - His son’s suicide broke the father.
(But: Er ist ein gebrochener Mann)
Expressions:
Sich (über etwas) den Kopf zerbrechen - think so intensely (and unfruitfully) that it gives headaches
Porzellan zerbrechen - do or say something that damages a relationship slightly but permanently
Synonymous use:
If your intention is to break something in pieces just to make it shorter or smaller, you can use brechen as well as zerbrechen. In the first case you would indeed have to add in (kleine) Stücke.
Ich zerbreche den Zweig (und werfe die Stücke ins Feuer)
Ich breche den Zweig in Stücke (und werfe sie ins Feuer)
Meine Großmutter hat Spaghetti vor dem Kochen immer zerbrochen (, damit sie leichter zu essen waren)
Meine Großmutter hat Spaghetti vor dem Kochen immer in Stücke gebrochen (…)