Wie sich eine Infinitivgruppe an ein Verb anschließt, hängt alleine vom Verb ab. Das Verb sich nach etwas sehnen verlangt einen Anschluss mit nach, deswegen muss es richtig heißen:
Ich sehne mich danach, euch wiederzusehen.
Dein zweiter Vorschlag ist in seiner jetzigen Form nicht korrekt. Nach euch wirkt alleine bereits als Anschluss an sehnen, das heißt, ein richtiger Satz wäre:
Ich sehne mich nach euch.
Hier sehnt man sich aber nicht nach dem Wiedersehen, sondern nur nach den Personen, ohne die Art des Sehnens näher zu definieren. Deswegen kann in diesem Satz wiederzusehen nicht erscheinen, und euch ist nicht länger ein Objekt von jemanden wiedersehen, sondern eines von sich nach jemandem sehnen. Klarer wird das vielleicht, wenn man die Person wechselt, um Dativ und Akkusativ besser unterscheiden zu können:
Ich sehne mich danach, dich wiederzusehen.
Ich sehne mich nach dir.
Das heißt auch, dass wenn du dich sowohl nach der Person als auch nach dem Wiedersehen sehnst, du den Satz entsprechend ausbauen müsstest:
Ich sehne mich nach euch; danach, euch wiederzusehen.
Ich sehne mich nach dir; danach, dich wiederzusehen.
Auch wenn euch (Dativ) und euch (Akkusativ) formengleich sind, kann man sie nicht zusammenfassen.
(Der Strichpunkt kann auch ein Komma sein, aber die Trennung dort ist stärker, weil es prinzipiell zwei Sätze sind, die nur zusammengezogen wurden.)