(Präambel für Nicht-Mathematiker: Ein Paar bezeichnet der Mathematiker gerne als »2-Tupel«, eine Dreiergruppe als »3-Tupel« usw. Für den allgemeinen Fall hat sich der Begriff »n-Tupel« etabliert.)
Vektorraum über einem Körper
Vektoren sind geordnete n-Tupel bestehend aus Elementen einer bestimmten Menge. Wenn mit dieser Menge auch zwei innere Verknüpfungen (die man meist »Addition« und »Multiplikation« nennt) verbunden sind, die zusätzlich ganz bestimmte Eigenschaften haben, dann ist diese Menge ein Körper. Weil sich die Verknüpfungen samt ihren Eigenschaften auf die Vektoren vererben, bilden dann auch die Vektoren eine besondere algebraische Struktur, die man eben einen Vektorraum nennt.
Ein Vektorraum ist also die Menge aller Vektoren, deren Komponenten Elemente eines bestimmten Körpers sind.
Der Körper bildet sozusagen das Fundament, und über diesem Fundament kann man Vektorräume errichten.
Zeichenkette über einem Alphabet
Das ist quasi 1:1 von den Vektoren und Körpern kopiert. Anstelle eines Körpers bildet hier ein Alphabet das Fundament. Auch ein Alphabet ist eine Menge, allerdings müssen innerhalb eines Alphabets keine Verknüpfungen zwischen den einzelnen Elementen (die »Zeichen« oder »Symbole« genannt werden) definiert sein. Damit kann man ebenfalls geordnete n-Tupel bilden, und diese n-Tupel sind dann Zeichenketten. (Der eingefleischte Mathematiker sagt aber lieber »Wörter« wenn er das meint, was ein Informatiker als »Zeichenkette« bezeichnen würde, wobei diese Wörter natürlich etwas völlig anderes sind als die Wörter des Otto Normalverbraucher.)
Also bildet hier ein Alphabet das Fundament, und über diesem kann man Zeichenketten errichten.
Relation auf einer Menge
Und schon wieder haben wir geordnete n-Tupel vorliegen, wobei man im Normalfall von 2-Tupel, also Paaren ausgeht. (Will man diesen oft betrachteten Fall besonders bezeichnen, kann man auch von zweistelligen Relationen sprechen. Wenn nicht anderes erwähnt wird, ist mit »Relation« in der Regel eine zweistellige Relation gemeint)
Eine Relation ist nämlich eine Teilmenge aller möglicher geordneten Paare (oder manchmal auch größerer n-Tupel), wobei das erste und das zweite Element nicht zwingend aus derselben Menge kommen müssen. (Man kann z.B. auch die Menge aller österreichischen Bundesländer mit der Menge aller Landeshauptleute verknüpfen, und nur jene Paare in die Relation aufnehmen, bei denen die Person Landeshauptmann des verknüpften Bundeslandes ist.)
Wenn man aber eine Relation auf nur einer Menge hat, dann entstammen alle Elemente derselben Menge. (Beispiel: Man verknüpft die Menge aller Menschen mit sich selbst, und nimmt in die Relation nur jene Paare auf, bei denen die zweite Person ein Kind der ersten Person ist. Man erhält dadurch die Relation aller Eltern-Kind-Beziehungen)
Also ist auch hier eine Menge (die nun auch als solche bezeichnet wird, weil sie sonst keine besonderen Eigenschaften haben muss) ein Fundament, auf dem man eine Relation aufbauen kann.
Funktion auf einer Menge
Jede Funktion ist eine Relation (nämlich eine linkstotale und rechtseindeutige zweistellige Relation). Daher gilt sinngemäß dasselbe, was bereits über die Relationen gesagt wurde.
Allgemeiner Fall
Eine logische Erklärung für die Wahl zwischen auf, über und möglichen anderen Präpositionen gibt es nicht. Insbesondere kann daraus keine Regel abgeleitet werden, derzufolge man auch in anderen, ähnlichen Fällen eine sicher Wahltreffen könnte.
Dass man manchmal auf statt über verwendet, ist reine Konvention. Wer davon redet, dass man eine Relation über einer Menge errichtet, wird sicherlich auch verstanden werden, offenbart aber gleichzeitig, mit den üblichen Konventionen nicht vertraut zu sein.
