Umlaute wurden ursprünglich als "oe", "ae" und "ue" geschrieben. Später wurde das "e" über den Buchstaben gestellt, was noch später zu zwei Strichen bzw. Punkten vereinfacht wurde. (Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%96)
Die Namen Goebbels und Goethe wurden gebildet, als die Umlaute noch mit "oe" geschrieben wurden. Personen- und Ortsnamen behalten gewöhnlich die Schreibung, die sie zu der Zeit hatten, als die Namen in Verzeichnissen wie Geburtsurkunden, Ausweisdokumenten, Landkarten und ähnlichem verschriftlicht wurden. Deshalb konservieren Namen eine altertümliche Schreibung.
Der Familienname von Johann Wolfgang Goethe wurde ursprünglich "Göthe" geschrieben. Einer seiner Vorfahren änderte die Schreibung des Namens zu Goethe. (Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Johann_Wolfgang_von_Goethe) Tatsächlich wurde der Name aber in einigen der zu Goethes Lebzeiten veröffentlichten Werke auch "Göthe" geschrieben.
Offenbar war die Verschriftlichung der Lautung damals im Übergang und noch nicht gefestigt. Die ersten Bemühungen um eine Vereinheitlichung der deutschen Orthografie wurden Mitte des 19. Jahrhunderts unternommen, also lang nach Goethes Tod. 1879 und 1880 wurden die ersten offiziellen Regelbücher veröffentlicht (in Preußen und Bayern, mit unterschiedlichen Regeln).
Andere bekannte altertümliche Namensschreibungen sind Calw (gesprochen "kalf") und Duisburg (gesprochen Düsburg). The orhtography of family names can differ by dialectal region, as can be seen on this map of the name Maier/Mayer/Meier/Meyer: http://images.zeit.de/lebensart/2011-04/d-karte-15/d-karte-15-thickbox.jpg