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Wenn man sagt:

Im Allgemeinen gilt (a+b)² ≠ a² + b².

stimmt das dann? Ich würde »im Allgemeinen« als »für alle a,b« interpretieren, die Aussage wäre demzufolge nach meinem Verständnis falsch (weil a = b = 0 ein Gegenbeispiel ist). Ich bin mir aber ziemlich sicher, dass ich die trotzdem Aussage schonmal so in der Art gehört habe. Derjenige meinte dann bestimmt mit »im Allgemeinen«, dass (a+b)² ≠ a² + b² in der Regel gilt und es nur sehr wenige Ausnahmen gibt.

Nun meine Frage: Wie ist »im Allgemeinen«" zu verstehen? Bedeutet es »für alle a, b« oder bedeutet es »in der Regel gilt für a, b, dass (a+b)² ≠ a² + b²; es gibt nur sehr wenige Ausnahmen«"?

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    "Im allgemeinen überlebt man den dritten Herzinfarkt nicht" sollte ein Beispiel "aus dem echten Leben" sein. Es heißt nicht, dass man dann automatisch tot ist - aber mit sehr hoher statistischer Wahrscheinlichkeit. – tofro Nov 2 '16 at 21:35
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    Im Allgemeinen und grundsätzlich deuten beide an, dass es Ausnahmen gibt, die an jener Stelle aber nicht erörtert werden sollen. – Janka Nov 2 '16 at 21:55
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im Allgemeinen

Bedeutet: Die Aussage ist, so wie es da steht, eigentlich fast immer wahr. Aber es gibt ein paar spezielle Ausnahmen, wo das dann doch nicht der Fall ist.

In dem im Beispiel genannten Fall, muss das Ungleichkeitszeiche durch ein Gleichheitszeichen ersetzt werden, wenn a oder b (oder beide) den Wert 0 annehmen.

»Im Allgemeinen« bedeutet: wenn du für a und b irgendwelche Zahlen einsetzt, dann ist die dargestellte Aussage in den meisten Fällen wahr.

Man verwendet diese Ausdrucksweise um zu sagen:

Gehe nicht davon aus, dass (a+b)² dasselbe wie a² + b² ergibt. Das kann zwar in einigen besonderen Fällen durchaus mal so sein. Aber in den vielen nicht-besonderen Fällen (also »im Allgemeinen«) kommen zwei verschiedene Ergebnisse heraus.

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Das ist eine mathematische Ausdrucksweise, die ich auch etwas unglücklich finde, die aber nicht unüblich ist. Es ist lediglich gemeint, dass (a+b)² = a² + b² nicht allgemein (also nicht für alle a, b) gilt.

  • (a+b)² = a² + b² gilt sogar nicht nur nicht allgemein, sondern fast nie :-) – Thorsten Dittmar Nov 3 '16 at 13:17
  • @ThorstenDittmar, richtig, für generische a, b gilt Gleichheit nicht ;) Das ist hier aber meiner Meining nach nicht der Punkt. – Carsten S Nov 3 '16 at 13:20
  • Ich wollte eher darauf raus, ob es in deinem letzten Satz nicht auch "≠" heißen muss. ;-) – Thorsten Dittmar Nov 3 '16 at 13:22
  • @ThorstenDittmar, nein. Meine Aussage ist, dass der Satz aus der Frage lediglich besagt, dass die beiden Seiten nicht immer gleich sind. – Carsten S Nov 3 '16 at 13:26
  • Hm. Ich sehe das eher so, dass die Aussage in der Frage bedeutet, dass beide Seiten bis auf wenige, nicht genannte Ausnahmefälle, normalerweise nicht gleich sind - nämlich nur genau dann, wenn a = 0 oder b = 0. – Thorsten Dittmar Nov 3 '16 at 13:30
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Man muss in der mathematischen Sprache zwei Formulierungen unterscheiden:

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit
Bedeutet, dass eine Aussage auch ohne eine im konkreten Fall/Beweis getroffene Einschränkung gültig ist. Häufig trifft man auf diese Formulierung im Rahmen von Beweisen, wo man ggf. je nach Beweisverfahren eine einschränkende Annahme trifft, der Beweis aber auch ohne diese Einschränkung äquivalent für alle anderen Fälle auch gilt.

Im Allgemeinen
Bedeutet nichts anderes als, "für die meisten Fälle, aber nicht für alle". Üblicherweise werden die Ausnahmen dann genannt. Das Beispiel von Dir gilt eben "im Allgemeinen" schon, aber "im Besonderen", dem Fall a = 0 oder b = 0 eben nicht.

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"Im Allgemeinen gilt" kann man sinngemäß übersetzen mit

In den meisten Fällen gilt

Für fast alle a,b gilt

Es gibt (vernachlässigbar) seltene Ausnahmen

Dein letzter Satz, "in der Regel gilt für a, b, dass (a+b)² ≠ a² + b²; es gibt nur sehr wenige Ausnahmen", ist eine richtige Interpretation.

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    "Im Allgemeinen gilt" und "für fast alle x gilt" sollte man nicht in einen Topf werfen. Während die erste Formulierung eher informell gebraucht wird, hat die zweite eine klar definierte Bedeutung (je nach Fachgebiet "die Menge der Ausnahmen ist endlich" oder "die Menge der Ausnahmen hat das Maß Null"). – Uwe Nov 3 '16 at 10:29
  • @Uwe "die Menge der Ausnahmen hat das Maß Null" wäre "Für alle a,b gilt". "Für fast alle a,b gilt" bedeutet lediglich, dass es minimum eine Ausnahme gibt. Im Allgemeinen, so gebe ich dir recht, ist informell. Ich denke aber, dass es um das generelle Verständniss der Aussage geht, und nicht um die Mathematische Präzision, die bei mittelmäßigem Verständnis der deutschen Sprache (bitte nicht als herabwertend interpretieren!) nicht gegeben sein muss – Do Re Nov 3 '16 at 10:36
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    Du verwechselst gerade "eine Menge hat das Maß Null" und "eine Menge ist leer". Die Kollegen von Mathematics.SE erklären Dir gerne den Unterschied. – Uwe Nov 3 '16 at 10:41
  • Im genannten Beispiel gibt es unendlich viele Ausnahmefälle. Daher sind weder »Für fast alle .. gilt« noch »Es gibt vernachlässigbar seltene Ausnahmen« angebrachte Erklärungen. – Hubert Schölnast Nov 3 '16 at 15:41
  • Also wenn ich nicht ganz falsch liege gibt es genau drei Ausnahmefälle, nämlich a = 0 oder b = 0...? – Thorsten Dittmar Nov 3 '16 at 17:59
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Dies ist eine informelle Sprechweise, die Mathematiker mitunter benutzen. Beispiel: Du hältst einen Vortrag und erwähnst solch eine Formel, wie in Deinem Beispiel -- oder irgendetwas nicht ganz so Triviales. Dann bedeutet im Allgemeinen, daß es Ausnahmen gibt, die aber offensichtlich oder uninteressant sind. Das hat aber nichts mit Wahrscheinlichkeit oder Vernachlässigbarkeit zu tun.

Wenn man einen mathematischen Text schreibt, ist zu empfehlen, solch eine Formulierung nicht zu verwenden, sondern genau anzugeben, was die Ausnahmen sind, und das machen die Mathematiker routinemäßig.

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Normale Menschen verstehen unter "Im Allgemeinen" das gleiche wie "Im Normalfall" oder "In der Regel". Mathematiker benutzen "Im Allgemeinen" mit der Bedeutung "In größerer Allgemeinheit". "Die Aussage ist im Allgemeinen falsch" bedeutet also nicht, dass sie fast nie gilt, sondern dass sie falsch wird, wenn man eine Voraussetzung wegläßt.

Beispiel: Jede endliche Gruppe erfüllt ... . Diese Aussage ist im Allgemeinen falsch. Olshanski zeigte 1979, dass es eine unendliche Gruppe gibt, so dass ... .

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    Und wie ist das nun auf die Aussage aus der Frage anzuwenden? – Carsten S Sep 14 '17 at 16:17
  • @Carsten S: Die Bedeutung der Aussage hängt von dem Sprecher und der Sprachsituation ab. In einer Vorlesung für Erstsemestler gilt die zweite Interpretation, wenn ein Schüler einem anderen die Hausaufgaben erklärt, die erste. Wenn ein Mathematiker einem Schüler die Hausaufgaben erklärt, ist nicht klar was gemeint ist. Dieses Problem tritt immer auf, wenn ein Begriff in einer Fachsprache anders benutzt wird als in der allgemeinen Sprache, also z.B. auch wenn ein Musiker von klassischer Musik oder ein Jurist von grundsätzlich verbotenen Dingen redet. – Jan-Christoph Schlage-Puchta Sep 15 '17 at 12:30

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