Versuchen wir's mal:
Durchsagen: Hier ist tpyischerweise ein bestimmter (elektrischer?) Kommunikationskanal im Spiel, zum Beispiel das Lautsprechersystem einer Schule oder eines Bahnhofs. - Natürlich kann es in der Praxis auch vorkommen, dass ein solches (elektrisches) System nicht vorhanden ist, sondern andere Wege benutzt werden. Wichtig ist jedenfalls der Aspekt der Mitteilung an eine größere Menge von Leuten. Typischerweise würde man bei einer Durchsage die Leute, zu denen man spricht, auch nicht sehen. Oft ist auch eine Form von Hierarchie im Spiel. (Dies ergibt sich allerdings schon aus der Verfügung über den nur in eine Richtung laufenden Kommunikationskanal.) Außerdem haben Durchsagen typischerweise den Charakter des Unvorhergesehenen, Situativen.1
Ankündigen: Jegliche Form von Information zu Dingen, die in der Zukunft liegen. Der Kommunikationskanal spielt hier keine Rolle. Du kannst mit einer Durchsage (übers Lautsprechersystem) die Ankündigung machen, dass die Schule morgen wegen großer Hitze geschlossen bleibt. Es spielt auch keine Rolle, ob du nur zu einer Person sprichst oder zu vielen. Du kannst deiner Freundin ankündigen, dass du mit ihr Schluss machen wirst.2
Ansagen: In der Grundform: Jemand stellt sich vor ein Publikum und macht eine kurze Mitteilung. (Eine lange Rede wäre keine Ansage mehr.) Oft (aber nicht zwangsläufig) hat der Inhalt der Ansage etwas mit der Zukunft zu tun. Auch ein Sprecher im Fernsehen, der die nächste Sendung ankündigt, macht eine Ansage.
Oder kurz:
Eine Ansage (kurze Mitteilung an ein Publikum) kann auch mittels einer Durchsage (über einen Einbahn-Kommunikationskanal) erfolgen und eine Ankündigung (für etwas, das in der Zukunft liegt) beinhalten.
1) Entsprechend ist die Ansage (siehe dort) eines Fernsehsprechers keine Durchsage. Mir scheint, der Grund ist, dass wir vom Fernsehsprecher erwarten, dass er uns etwas mitteilt. Eine Durchsage hat dagegen den Charakter des Unerwarteten, Ungeplanten, Irregulären, Situativen. Der Fernsehsprecher kann zwar auch eine Durchsage machen, aber dann müsste es etwas sein, das nicht zum erwartbaren Programm gehört.
2) Das wäre in diesem Fall außerdem ein performativer Akt.