Usage of "aber"

Question

Why is "aber" used in this context?

Darf ich dich zu einem Kaffee einladen?
– Aber ja, sehr gern.

Answer 1

It's like saying "But sure, you're welcome!". It probably means "You might believe it's not ok, BUT it is"

Answer 2

In diesem Fall steht aber nicht als Konjunktion, sondern als Modalpartikel/Abtönungspartikel.

Die Duden Grammatik (hier 7. Auflage) gibt nähere Auskunft:

(§ 870) Partikeln kommen besonders häufig in der gesprochenen Sprache vor und erfüllen ganz unterschiedliche Funktionen:

• als Gradpartikeln geben sie Auskunft über die Intensität von Eigenschaften
• als Fokuspartikeln heben sie bestimmte Teile eines Satzes hervor
• als Negationspartikeln verneinen sie einen Satz oder Teilsatz
• als Abtönungspartikeln geben sie Auskunft über die subjektive Einstellung, die Haltung des Sprechers zum Sachverhalt
• als Gesprächspartikeln steuern sie den Ablauf von Dialogen
• als Interjektionen dienen sie dem Ausdruck von Emotionen
• als Onomatopoetika imitieren sie Geräusche.

Es ist typisch für Partikeln, "dass sie in verschiedenen Klassen der Nichtflektierbaren bzw. der Partikeln vorkommen können". Als Beispiel wird u. a. angeführt:

Wir wollten kommen, aber der Zug fiel aus. (Konjunktion) – Das ist aber schön! (Abtönungspartikel)

§ 875 bezieht sich explizit auf die Abtönungspartikeln/Modalpartikeln:

(...) Abtönungspartikel kommen besonders häufig in der gesprochenen Sprache vor und sind dort keineswegs, wie früher angenommen, unnütze Füllwörter. Sie drücken sehr differenziert Einstellungen, Annahmen, Bewertungen und Erwartungen des Sprechers bezüglich des geäußerten Sachverhalts, teilweise auch seine Erwartungen an den Hörer aus. Abtönungspartikeln beziehen sich auf den gesamten Satz. (...)
Die häufigsten Abtönunspartikeln sind: ja, denn, wohl, doch, aber, nur, halt, eben, mal, schon, auch, bloß, eigentlich, etwa, nicht, vielleicht, ruhig. (...)

Im Beispiel der Frage steht aber in Kombination mit dem Gesprächspartikel (hier: Antwortpartikel) ja. Sein Gebrauch gibt der Antwort eine besondere Betonung; diese wirkt dadurch etwas emphatischer als ein einfaches "Ja, sehr gern."

(Der korrekte Plural von Partikel lautet übrigens Partikeln, so der Duden. Umso verwunderlicher, dass in der Duden Grammatik sowohl Partikeln als auch Partikel als Pluralform Verwendung findet.)

Answer 3

In this case aber is used as of course.

This use is less frequent than the use as but.