Zunächst eine Vorbemerkung: Von besonderer Wichtigkeit ist bei solchen Sätzen, ob eine Präposition im Spiel ist oder nicht. Damit haben anscheinend viele Nicht-Muttersprachler Schwierigkeiten. Häufig sieht man hier Fragen wie z.B. "Warum ist in diesem Satz ein Akkusativ, ich habe gelernt, dass dieses Verb einen Dativ verlangt", wobei der Fragesteller übersehen hat, dass vor dem Akkusativ eine Präposition steht und es sich folglich nicht um ein reguläres Akkusativobjekt, sondern um ein Präpositionalobjekt (oder eine adverbiale Bestimmung) handelt.
Nun zum vorliegenden Satz. Das Verb entrichten ist transitiv, es verlangt also ein Akkusativobjekt. Das Akkusativobjekt ist hier die Gebühren.
Jetzt mag man fragen: Was ist mit an das Amt? das Amt ist offensichtlich Akkusativ (da das Amt nicht Subjekt ist, kann es nicht Nominativ sein, also bleibt nur Akkusativ). Ist das also ein Akkusativobjekt?
Die klare Antwort: Nein! Es ist ein Präpositionalobjekt. Bei einem Präpositionalobjekt richtet sich der Fall vorrangig nach der Präposition. An erlaubt sowohl Akkusativ als auch Dativ. Da wir es hier mit einer gerichteten Handlung zu tun haben, ist hier der Akkusativ richtig.
Wir halten also fest:
Ich habe die Gebühren an das Amt entrichtet
ist korrekt.
Was ist jetzt mit:
Ich habe dem Amt die Gebühren entrichtet.
(Im Deutschen steht das Dativobjekt üblicherweise vor dem Akkusativobjekt)
Im Fall des Verbs entrichten ist ein Dativobjekt ungebräuchlich. Daher klingt dieser Satz zumindest schief und der Satz mit an + Akkusativ ist vorzuziehen. Wäre das Verb z.B. geben, wäre der Dativ vollkommen in Ordnung.