I'm afraid that the genitives are not the primary problem, but the fact that both sentences, the English as well as the German one, are unidiomatic. "The leg is injured" sounds very strange in my ears. "Das Bein ist verletzt" is highly unidiomatic and senseless in the final analysis. I consider it wrong.
German ways of expressing that Verletzung are:
Frage: Was ist passiert?
Die Katze hat sich am Bein verletzt.
Die Katze hat sich das Bein gebrochen / verrenkt / verstaucht.
After an X-ray a doctor would say: (Zustandsbescheibung)
Das Bein ist gebrochen / verrenkt / verstaucht. But certainly NOT: *
Das Bein ist verletzt.
If you want to combine verletzt and sein, you can only do so with nouns that denote persons or animals.
Situation: Es hat sich ein Unfall ereignet.
Der Fahrer des Wagens ist verletzt. Die Frau (das Kind; der Mann) ist verletzt. [Der] Fahrer und [der] Beifahrer sind schwer verletzt.
Der Hund ist angefahren worden. Er ist verletzt.
Thus, your lady-cat-leg-sentence could be, with one genitive only:
Die Katze der Frau hat sich am Bein verletzt.
Die Katze der Frau hat sich das Bein gebrochen / verrenkt /
verstaucht.
Das Bein von der Katze der Frau ist gebrochen / verrenkt / verstaucht.