Bei etymologischen Fragen zahlt es sich aus, erst mal im Kluge nachzuschauen.
Sport: Der Kluge gibt uns unter fahren gleich eine Verbindung zu l. portare. Unter Sport finden wir eine Ableitung von mfrz. desporter (über ne. disport -> sport), letztlich von l. portare. Hier ist also klar eine Verbindung zu fahren, aber das s- ist gekürzt aus mfrz. des-.
springen: Aus g. *spreng-a, wird mit gr. spérchomai 'Ich setze rasch in Bewegung' und "vielleicht" ai. spṛhayati 'sehnt sich nach, verlangt, beneidet' in Verbindung gebracht. Hier spricht also nichts gegen s mobile, die Frage ist vor allem, wie man sich den Velar am Ende des Stammes (g/ch/h) erklärt. (Und wenn wir das von *h₃reǵ herleiten wollen, wieso haben diese Wörter dann alle nur ein r und nicht zwei? (s-pr + rg) Haplologie ist natürlich immer eine Möglichkeit, aber die muss dann schon früh genug gewesen sein, um in allen Sprachen vorzukommen. Eine Ableitung von *per ist also, soweit ich sehen kann, nicht völlig auszuschließen, und vielen Etymologen reicht das ja schon.
sprechen: aus wg. __sprek-a-_ 'sprechen'. "Außergermanisch könnten verglichen werden" kymr. ffraeth 'witzig' und alb. shpreh 'aussrücken, lehren' "doch stehen sich die Bedeutungen nicht ausreichend nahe" (!). Hier stellt sich noch nachdrücklicher die Frage: Woher das k? Und um parallell zu express herzuleiten, müssten wir erst mal ein von *per abgeleitetes Wort für drücken annehmen. (l. ex-premere = (wörtlich) aus-drücken, und aus dem PPP l. ex-pressus dann ne. express) Wahrscheinlich kann man sich das über fahren lassen irgendwie rechtfertigen, aber auch hier ist die stärkste Aussage, die ich sehen kann, dass man einen Zusammenhang nicht völlig ausschließen kann.
spüren laut Kluge von Spur, also gleich dort weiter:
Spur: aus g. *spura- 'Spur' von g. *spur-na 'treten' Wieder einige ähnliche außergermanische Wörter: gr. aspaíro 'ich zucke, zapple', lit. spìrti 'nach hinten ausschlagen, trotzen, sich widersetzen', air. seir 'Fußknöchel, Ferse', l. spernere 'zurückstoßen, verschmähen, verachten'. Also wieder Verben, die irgendeine Art von Bewegung ausdrücken. Leider kenne ich mich mit Vokalentsprechungen nicht genug aus, um zu sagen, wie vielversprechend hier eine Ableitung von *per ist, aber man muss auf jeden Fall erklären, warum hier der Vokal nicht einfach e/o/0 ist. Sonst, wie immer, ganz unmöglich ist es nicht.
Letztendlich ist aber das Problem, dass man jedes Wort irgendwie auf ein Bewegungsverb zurückführen kann, wenn man es darauf anlegt. Und jedes Bewegungsverb irgendwie auf fahren. Daher kann man, wenn man das Ganze mit genug Entschlossenheit betreibt, jedes Wort, das ein sp und ein r oder ein f und eine _r enthält, auf *per zurückführen, und es lässt sich kaum beweisen, dass es in Wahrheit nicht so war. Eine Theorie, die nicht falsifiziert werden kann, ist aber keine wissenschaftliche Theorie, sondern nur etwas, das man glauben kann, oder eben nicht. Wenn man also glauben will, dass alle diese Wörter von *per abstammen, kann man das ruhig. Beweisen kann man es nicht, weil nicht klar ist, unter welchen Umständen man sagen müsste, dass sie nicht davon abstammen.