Trüben, betrübt, betrüben
As guidot surmised in a comment, there is a mistake in the sentence you quoted: betrübt should be getrübt. A slightly modified version of the sentence in question would be:
Die Beziehungen zu den USA würden durch die Veröffentlichung der Dokumente nicht getrübt.
Würden… getrübt is Konjunktiv II Passiv of trüben. Note that würden… getrübt werden is also possible (see below). Konjunktiv II is used instead of Konjunktiv I because the latter is identical to the indicative in the plural. The purpose of the Konjunktiv is to indicate that the sentence is to be understood as reported speech, i.e. the spokesperson must have said,
Die Beziehungen zu den USA werden durch die Veröffentlichung der Dokumente nicht getrübt.
or, in the active,
Die Veröffentlichung der Dokumente trübt die Beziehungen zu den USA nicht.
The literal meaning of trüben is to make something opaque. The figurative meaning is like that of English to tarnish, to make worse, which fits perfectly.
Betrübt is another kettle of fish. It is a deverbal adjective indicating sadness.
Der Regierungssprecher war betrübt.
Er zeigte sich betrübt.
Wenn sie an den Klimawandel denkt, wird sie ganz betrübt.
Ihre Miene war betrübt.
As the examples indicate, the adjective betrübt requires a person as a subject (or a bodypart metonymically denoting a person). Beziehungen is not a valid subject here, and the meaning doesn't fit either because Beziehungen can't get sad.
Finally, there is also the transitive verb betrüben, which means to make sad:
Die Situation betrübt mich zutiefst.
Der Gedanke betrübt uns alle.
Again, since the object is required to denote a person, Beziehungen cannot possibly be the subject of a passive sentence with betrüben, and the meaning is off as well (Beziehungen can't get sad).
würde plus infinitive
As you are already aware, würde plus infinitive is used in place of Konjunktiv II in certain cases.
Die Beziehungen verschlechtern sich. →
Die Beziehungen verschlechterten sich. (ambiguous, could be past indicative)
Die Beziehungen würden sich verschlechtern.
This is called the periphrastic Konjunktiv II, periphrastic meaning that two verbs combine in order to express a grammatical feature.
However, what about the Konjunktiv II of werden itself, when werden is used as a passive auxiliary or a copula? There are two possibilities: Either würde is used to form a Konjunktiv II on its own, or it is combined with another werden in order to form a periphrastic Konjunktiv II (so that there are two forms of werden present). The latter use is considered more colloquial.
Die Probleme werden von einigen vernachlässigt. →
Die Probleme würden von einigen vernachlässigt.
Die Probleme würden von einigen vernachlässigt werden.
Die Probleme werden jeden Tag größer. →
Die Probleme würden jeden Tag größer.
Die Probleme würden jeden Tag größer werden.
