Ich werde diese Information mitteilen müssen.
That's Futur I, werden+Infinitive. Please keep in mind, German speakers use Präsens for future events quite often, so
Ich muss diese Information mitteilen.
is what you probably wanted to express. Why do I insist? Because
Ich werde es tun müssen.
is a fixed phrase meaning I don't want to do it but I have no choice.
Your second pattern introduces indirect speech.
Sie hat gesagt, …
Indirect speech calls for the Konjunktiv I. But the first person singular Konjunktiv I form of werden is the same as the Indikativ form, so you are allowed to use the Konjunktiv II form instead. Thus, both the following are correct:
Sie hat gesagt, dass ich diese Information werde mitteilen müssen.
Sie hat gesagt, dass ich diese Information würde mitteilen müssen. (preferred)
Sie hat gesagt, dass ich diese Information mitteilen müssen werde.
Sie hat gesagt, dass ich diese Information mitteilen müssen würde.
Dass introduces an object clause. Such clauses have a finite verb, not an infinitive. Here, that finite verb is again werde (or würde).
Last, why is the finite verb not in last position? It has to in dependent clauses, right? Yes, generally speaking. But rows of infinitives and participles are an exception, it's preferred to put it in front of the row instead.
In contrast, consider
Sie hat gesagt, dass ich diese Information teilen muss.
Why muss isn't in Konjunktiv I mood but Indikativ? Isn't it indirect speech, too? It may be, but you have adopted her viewpoint. The listener understands you shared the information with her already.
This doesn't work with your werde example because, as written above, the Indikativ of first person singular of werden is the same as the Konjunktiv I form.