"im Hinblick auf etwas" kann synonym für "auf etwas hin" verwendet werden. Dies dient bei "prüfen" dazu, das Prüfziel explizit herauszustellen.
Im DWDS steht als Bedeutung für "prüfen"
1) a) α) etw., jmdn. im Hinblick auf etw. untersuchen
1) a) β) ⟨etw. (auf etw.) prüfen⟩im Hinblick auf seine vorgeschriebenen Eigenschaften
1) a) γ) ⟨etw. (auf etw.) prüfen⟩im Hinblick auf eine bestimmte Eigenschaft
Beim DWDS-Eintrag für "prüfen" fehlt im Gegensatz zum Duden-Eintrag ein Beispiel mit "hin", der separate DWDS-Eintrag für "hin" sagt
in der ersten Zeile Wortbildung: mit ›hin‹ als Letztglied: ↗dahin
zum gebrachten Beispiel passend:
im Eintrag 2.g): kausal: ⟨auf ... hin⟩aufgrund
zur Frage 1)
Die DWDS-Einträge sollten deutlich machen, dass es sehr vielfältige Konstruktionen gibt. Die größeren Blöcke sind
1) "räumlich, bezeichnet die Richtung vom Sprecher weg auf einen Zielpunkt zu"
und 4) "nach adverbialer Bestimmung, bekräftigt häufig ein Geschehen oder einen anhaltenden Zustand"
zur Frage 2)
- Als die drei Forscher die ersten zehn Millionen Primzahlen auf diese Eigenschaften hin prüften, stellten sie fest, dass..
vs.
- Als die drei Forscher die ersten zehn Millionen Primzahlen mit diesen Eigenschaften prüften, stellten sie fest, dass..
Ist etwas unterschiedliches:
- im ersten Fall werden die Primzahlen untersucht, ob sie eine bestimmte Eigenschaft haben und wie diese ausgeprägt ist - es ist zur Überprüfung unklar, ob sie die Eigenschaften haben und es ist wichtig, wie sie ausgeprägt sind, das ist das Untersuchungsziel
- im zweiten Fall werden die Primzahlen untersucht, die gewisse Eigenschaften haben - es ist zur Überprüfung Vorraussetzung, dass sie die Eigenschaften haben und es ist egal, wie sie ausgeprägt sind, das Untersuchungsziel ist ein anderes