If the intended usage is "now" then it is indeed more natural to use CPU.
However, as someone who likes to read books, and prefers references in answers, I can't help to notice that a certain – perhaps anglophobic – element is still present in books about the topic.
Those germanophile authors still use ZVE.
Kai Bruns, Paul Klimsa: "Informatik für Ingenieure kompakt", Springer, 2013.
It seems as if almost many first semester information science scripts list the word CPU, then spell out the abbreviation, and then translate the English word combination to the old German Wortkombination.
Prof. Matthias Werner: "Einführung in die Funktionsweise von Computersystemen, 3. Kapitel, Von-Neumann-Rechner, Einführung in die Funktionsweise von Computersystemen Wintersemester 2018/2019, TU Chemnitz (PDF):
Die Zentrale Verarbeitungseinheit ist das Kernstück jedes Von-Neumann-Rechners
▶ Bezeichnung: CPU = central processing unit (ZVE, Zentrale Verarbeitungseinheit)
And as a recent dictionary now explains: this was mainly a thing in the GDR, where the German ocialists had a particular disdain for Americanisms:
Oliver Rosenbaum: "Das expert-Lexikon der EDV-Abkürzungen: 11.111 Begriffe aus Elektronik, Computertechnik und Telekommunikation", expert verlag, 2000.
Like here: "Kernenergie: Zeitschrift für Kernforschung und Kerntechnik", Band 18, Akademie-Verlag., 1975
But of course it was not exclusive for these kind of communists:
"Internationale Tagung der Historiker der Arbeiterbewegung ("IX. Linzer Konferenz") Linz, 11. bis 15. September 1973", Europaverlag, 1975.
The latter plainly from the days when employees from the German branch of IBM were offended if anyone pronounced the abbreviation with English letters instead of Ur-Germanic ones.
That leads to the conclusion that it's a generational thing: for a native speaker generally practically minded and young enough to be vocal with opinions on StackExchange the majority seems to favour CPU while older generations, especially those from the GDR or involved early in information science ZVE won't seem too outlandish.
Strictly answering
Q Do native speakers use ZVE or CPU?
They use both, with a clear edge for CPU now.
Was ist ein Prozessor?
Der weitere Artikel beschreibt ausschließlich diese Bedeutung, am Beispiel des Prozessors eines Computers. Am bekanntesten sind Prozessoren als Hauptprozessor, zentrale Recheneinheit oder (allgemeiner) zentrale Verarbeitungseinheit (kurz ZVE, englisch central processing unit, kurz CPU) für Computer, in denen sie Befehle ausführen
Robotron K1520-Leiterplattensortiment
045-8762
ZVE Zentrale Verarbeitungseinheit enthält auch 128 KByte RAM, für K8915-Rechner