There are verbs with prepositional objects. You mentioned träumen von:
(Sie träumt von einem Urlaub am Meer.)
Sie träumt davon, am Meer Urlaub zu machen.
Davon träume ich auch.
However, there are also adjectives that go with prepositions.
Die Heizkosten sind abhängig von der Größe der Wohnung.
Die Heizkosten sind abhängig davon, wie groß die Wohnung ist.
In this case, the adjective abhängig is derived from a verb and the preposition is inherited from that verb, i.e. abhängen von. But there are many cases of adjectives with prepositions where the adjective is not derived from a verb: frei von, nett zu, neidisch auf, zuständig für, etc.
Note that von in particular is also used to give the agent in a passive clause, which yields another source for davon.
Das schlechte Wetter hat uns überrascht.
Wir wurden vom schlechten Wetter überrascht.
Wir wurden davon überrascht, wie schlecht das Wetter war.
Moving on to your particular case, von or a genitive are used with nouns (or, more generally, nominal phrases).
Ich habe zu viel Suppe gekocht und einen Teil der Suppe eingefroren.
Ich habe zu viel Suppe gekocht und einen Teil davon eingefroren.
Note that the preposition and the noun it goes with can be split.
Ich habe zu viel Suppe gekocht. Davon habe ich dann einen Teil eingefroren.
This is what happens in your example.
(Diese Apfelsorte kaufen die Deutschen gerne.)
Davon kaufen wir jetzt vier Stück.
Wir kaufen jetzt vier Stück davon.
Wir kaufen jetzt vier Stück von dieser Sorte.
So your assumption – we only use davon when there is a verb that goes with it – is wrong. Von and davon also go with nouns and certain adjectives, as well as being used in the passive voice. There are also other uses I have not mentioned.
Be aware of the possibilty of von and davon being moved away from the word they belong to.