Gehen wir die Bestandteile einzeln durch:
dem Manne
Das ist ein veralteter Dativ von der Mann.
dem wurde seine Frau krank
seine Frau ist das Subjekt im Nominativ, ihm (dem) ist ein Dativ-Objekt von krank werden.
Diese Form des Dativ-Objekts drückt aus, dass zwischen dem Subjekt des Satzes und dem Dativ-Objekt des Verbs eine Possesiv-Beziehung herrscht. Wenn ich mich nicht täusche, wird dabei regelmäßig von dem Verb eine Art Verlust ausgedrückt. Andere Beispiele für diese Konstruktion sind:
Ihr sind alle Geschwister weggestorben.
Ihm sind alle Erinnerungen verlorengegangen.
Das Ganze ist nicht zu verwechseln mit der heute in der Umgangssprache mitunter anzutreffenden Ersetzung des Genitivs durch den Dativ:
Dem seine Frau wurde krank.
ist eine andere Konstruktion!
Einem reichen Manne, dem
Das ist in der Tat kein Relativsatz, dem ist hier kein Relativpronomen, sondern ein Demonstrativpronomen. Hier wird auf das Nomen (Manne) nochmal mit einem Pronomen verwiesen. Dies geschieht, um das Objekt besonders zu betonen. Analoge Beispiele sind:
Der Peter, der weiß was er tut.
Die Kartoffeln, die habe ich schon gegessen.
Ohne dieses Demonstrativpronomen würde der Satz lauten:
Einem reichen Manne wurde seine Frau krank.
Zusammenfassung
Durch das Demonstrativpronomen wird der Mann zum Thema des Satzes gemacht, und nicht die Frau. Dieser Fokus wird durch die Konstruktion mit dem Dativ-Verb noch verstärkt: Die Hauptbotschaft ist hier also "Einem reichen Mann ist es widerfahren, dass seine Frau krank wurde." und nicht etwa "Eine Frau wurde krank, und sie hatte einen reichen Mann."