Die Verben, die auf -igen enden, gehen in der einen oder anderen Form auf ein Adjetiv mit dem Suffiy -ig zurück. Verb und Adjektiv können sich dabei aber schon weit von einander entfernt haben: Die Bedeutung des Verbs kann sich zum Teil stark von der des Adjektivs entfernt haben; es kann sogar sein, dass das Adjektiv gar nicht mehr in dieser Form im Gegenwartsdeutsch existiert.
Das gilt auch für deine Beispiele:
- bestätigen ← stetig
- verständigen ← verständig
- entschuldigen ← schuldig
- erledigen ← ledig
- erkundigen ← kundig
- kündigen ← kundig
Auf den ersten Blick fällt das Verben bewältigen aus diesem Schema. Es gibt gegenwärtig kein Adjektiv *wältig oder *bewältig. Wohl gibt es aber die Worte Gewalt, gewaltig, sowie verwalten und das Verb walten. Tatsächlich hieß es im Mittelhochdeutschen noch gewältigen[1] (ein Verb, das es heute nicht mehr gibt), aus dem sich dann wohl bewältigen (und auch überwältigen) gebildet haben.
[1]: Pfeiffer: Etymologisches Wörterbuch des Deutschen