Vermutlich bedeuten die zwei Sätze nicht das Gleiche:
Es scheint auch, dass "mit … geben" im ersten Satz kein trennbares Verb ist. Eigentlich habe ich die Kombination "mit … geben" im Wörterbuch nicht gefunden.
Deswegen frage ich: Wie funktioniert "mit" in der Bedeutung des ersten Satzes?
Das mit täuscht, der Unterschied besteht in zwei Formen von geben.
Das geben im ersten Satz funktioniert ohne Objekt, in der unpersönlichen Konstruktion es gibt, also "there is". Mit ihm modifiziert das nur: "there's trouble with him". Das ersetzt hierbei es und referenziert auf eine spezifische Situatio,n die im Kontext als bekannt vorausgesetzt wird (also zB. das vorher Genannte).
Im zweiten Satz (der grammatisch, aber nicht ganz akzeptabel formuliert ist) funktioniert geben als normales transitives Verb mit zwei Objekten, in der Bedeutung "give":
Das gibt [jemandem (Dat.)] [etwas (Akk.)].
Also in etwa, "that would give him trouble". Der Ausdruck mit geben klingt allerdings sehr komisch; normalerweise würde man eher sowas wie das wird ihm Ärger machen, bereiten, oder einhandeln sagen.
There is also a separable compound verb mitgeben, which does however not occur in either sentence. You use it like in the following example:
Er gibt ihr Kuchen mit. "He gives her some cake to take with her."
