In solchen Fällen hilft es immer, zuerst alle Teile des Satzes wegzuschneiden, die keinen Einfluss auf das eigentliche Problem haben. Auch Umstellungen der Satzteile können helfen.
Ausgangssatz:
Ich erhoffe mir, meine zuvor in der Industrie erlangten Kenntnisse mit dem in meiner Promotion erworbenen / erworbenem Fachwissen optimal einsetzen zu können.
Man braucht nur den Teil nach dem Komma, diesen Teil kann man zu einem Hauptsatz umformen:
Ich kann meine zuvor in der Industrie erlangten Kenntnisse mit dem in meiner Promotion erworbenen / erworbenem Fachwissen optimal einsetzen.
Das geht noch einfacher:
Ich setze meine Kenntnisse mit dem in meiner Promotion erworbenen / erworbenem Fachwissen ein.
Noch ein Schritt einfacher:
Irgendetwas passiert mit dem erworbenen / erworbenem Fachwissen.
Der Teil ab dem Wort mit ist ein Präpositionalobjekt. Es besteht aus einer Präposition (»mit«) und einem inneren Objekt (alles, was danach kommt). Die Präposition mit erzwingt, dass das innere Objekt im Dativ steht. Dass das so ist, erkannt man auch gut am bestimmten Artikel »dem« mit dem dieses innere Objekt beginnt.
Das Vorhandensein eines bestimmten Artikels (allgemein: eines Determinativs) als Teil des Objekt bewirkt, dass Adjektive und Partizipien, die ebenfalls Teil dieses Objekts sind, und als Attribut eines Substantivs fungieren, schwach gebeugt werden müssen:
- starke Beugung (weil es kein Determinativ gibt)
Erworbene Fähigkeiten sind wertvoll. (Plural, Nominativ)
Erworbenes Gold sollte man nicht verlieren. (Singular Neutrum, Akkusativ)
Erworbenem Gold sollte man nicht trauen. (Singular Neutrum, Dativ)
- starke Beugung (weil es einen bestimmten Artikel gibt)
Die erworbenen Fähigkeiten sind wertvoll.
Das erworbene Gold sollte man nicht verlieren.
Dem erworbenen Gold sollte man nicht trauen.
Im vorliegenden Fall haben wir:
- Dativ
- sächlich (Neutrum)
- schwache Beugung (wegen des bestimmten Artikels)
Also genau dieselbe Konstellation wie im Satz »Dem erworbenen Gold sollte man nicht trauen.«
Was für Gold gilt, gilt auch für Fachwissen:
korrekt:
Irgendetwas passiert mit dem erworbenen Fachwissen.
Daher auch korrekt:
Ich erhoffe mir, meine zuvor in der Industrie erlangten Kenntnisse mit dem in meiner Promotion erworbenen Fachwissen optimal einsetzen zu können.
Die ganze Deklinationstabelle für das Partizip erworben gibt es auf Wiktionary