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Mir ist nicht klar, ob es im folgenden Satz erworbenen oder erworbenem heißen muss.
Ich erhoffe mir, meine zuvor in der Industrie erlangten Kenntnisse mit dem in meiner Promotion erworbenen / erworbenem Fachwissen optimal einsetzen zu können.
Für eine Erklärung wäre ich dankbar!
In solchen Fällen hilft es immer, zuerst alle Teile des Satzes wegzuschneiden, die keinen Einfluss auf das eigentliche Problem haben. Auch Umstellungen der Satzteile können helfen.
Ausgangssatz:
Ich erhoffe mir, meine zuvor in der Industrie erlangten Kenntnisse mit dem in meiner Promotion erworbenen / erworbenem Fachwissen optimal einsetzen zu können.
Man braucht nur den Teil nach dem Komma, diesen Teil kann man zu einem Hauptsatz umformen:
Ich kann meine zuvor in der Industrie erlangten Kenntnisse mit dem in meiner Promotion erworbenen / erworbenem Fachwissen optimal einsetzen.
Das geht noch einfacher:
Ich setze meine Kenntnisse mit dem in meiner Promotion erworbenen / erworbenem Fachwissen ein.
Noch ein Schritt einfacher:
Irgendetwas passiert mit dem erworbenen / erworbenem Fachwissen.
Der Teil ab dem Wort mit ist ein Präpositionalobjekt. Es besteht aus einer Präposition (»mit«) und einem inneren Objekt (alles, was danach kommt). Die Präposition mit erzwingt, dass das innere Objekt im Dativ steht. Dass das so ist, erkannt man auch gut am bestimmten Artikel »dem« mit dem dieses innere Objekt beginnt.
Das Vorhandensein eines bestimmten Artikels (allgemein: eines Determinativs) als Teil des Objekt bewirkt, dass Adjektive und Partizipien, die ebenfalls Teil dieses Objekts sind, und als Attribut eines Substantivs fungieren, schwach gebeugt werden müssen:
Erworbene Fähigkeiten sind wertvoll. (Plural, Nominativ)
Erworbenes Gold sollte man nicht verlieren. (Singular Neutrum, Akkusativ)
Erworbenem Gold sollte man nicht trauen. (Singular Neutrum, Dativ)
Die erworbenen Fähigkeiten sind wertvoll.
Das erworbene Gold sollte man nicht verlieren.
Dem erworbenen Gold sollte man nicht trauen.
Im vorliegenden Fall haben wir:
Also genau dieselbe Konstellation wie im Satz »Dem erworbenen Gold sollte man nicht trauen.«
Was für Gold gilt, gilt auch für Fachwissen:
Irgendetwas passiert mit dem erworbenen Fachwissen.
Daher auch korrekt:
Ich erhoffe mir, meine zuvor in der Industrie erlangten Kenntnisse mit dem in meiner Promotion erworbenen Fachwissen optimal einsetzen zu können.
Die ganze Deklinationstabelle für das Partizip erworben gibt es auf Wiktionary
Es muss heißen
Ich erhoffe mir, meine zuvor in der Industrie erlangten Kenntnisse mit dem in meiner Promotion erworbenen Fachwissen optimal einsetzen zu können.
Man sieht das am leichtesten ein, wenn man nur die relevanten Teile des Satzes betrachtet. Das ist hier die Nominalphrase mit dem in meiner Promotion erworbenen Fachwissen. Diese lässt sich vereinfachen zu mit dem erworbenen Fachwissen.
Falls das Partizip dem Verständnis Schwierigkeiten bereitet, kann man es zum Test durch ein einfaches Adjektiv ersetzen: mit dem grünen Fachwissen.
Wie tofro im Kommentar richtig anmerkt, ist die zugrundeliegende Regel hier, dass Adjektive im Dativ mit bestimmtem Artikel schwach gebeugt werden.
Anders sieht es aus, wenn der bestimmte Artikel fehlt. Dann muss der von mit geforderte Dativ in der Adjektivendung markiert werden:
Ich erhoffe mir, meine zuvor in der Industrie erlangten Kenntnisse mit in meiner Promotion erworbenem Fachwissen optimal einsetzen zu können.
Die Analyse geht ganz analog.
