You write:
One common theme learning them is that there is a preceding contextual sentence or main clause that has the preposition that is used in the corresponding "da"- word.
This assumption is wrong. But even if it were true, how would you know what preposition to use in the preceding sentence?
Combinations of da(r) with a preposition are known as Präpositionaladverbien and have several functions, one of them being "pronominal", i.e. referring back to something given in the context.
Denk doch an die Prüfung! – Daran denke ich jetzt noch nicht.
Here, daran clearly means an die Prüfung, and one could in fact substitute one for the other. It might look like daran is used because there is an in the preceding sentence. However, that is not the case:
Ich mache mir jetzt schon Sorgen wegen der Prüfung. – Daran denke ich jetzt noch nicht.
In that exchange, daran would also be interpreted as an die Prüfung. So what determines the choice of (dar)an in the second sentence, if it isn't determined by the preceding sentence? There is some element in the sentence demanding that specific preposition, in this case the verb.
Verbs can have prepositional objects (Präpositionalobjekte).
Ich denke an die Prüfung.
Wartest du auf den Bus?
Die Chefin hat sich über dein Verhalten geärgert.
…
These prepositional objects can be realised by Präpositionaladverbien.
Wann repariert dein Vermieter denn das Fenster?
– Darauf (= dass er das Fenster repariert) warten wir jetzt seit Wochen.
Du hast gestern wieder das Licht angelassen. Die Chefin hat sich darüber (= dass du das Licht angelassen hast) geärgert.
Turning back to your examples.
Erinnerst du das Bild an der Wand? Ja, ich erinnere mich daran.
Leaving aside the fact that most native speakers would prefer erinnerst du dich an das Bild an der Wand, note that daran is interpreted as (an) das Bild an der Wand, i.e. referring to the painting and not the wall; so you, perhaps unintentionally, gave an example where the preposition an could not have been determined by the preceding sentence.
Dass sie es nicht tun, deutet darauf hin, dass es Interessen gibt, die die Menschenrechte überwiegen.
This sentence illustrates a second use of Präpositionaladverbien: They are used as Korrelate, i.e. they indicate that a clause follows (or precedes) and that that clause is to be understood as the object of the verb.
Alles deutet auf Diebstahl hin.
Alles deutet darauf hin, dass das Bild gestohlen wurde.
The preposition (dar)auf is demanded by hindeuten (DWDS). As above, other verbs have other prepositions, e.g. warten auf:
Wir warten auf Besserung.
Wir warten darauf, dass es besser wird.