Sich lassen means to allow something or to make something happen (in German zulassen, erlauben, veranlassen).
The following sentences are all grammatically fine. Just note that they not idiomatic German.
Ich lasse zu, dass mein Auto repariert wird.
Ich erlaube, dass mein Auto repariert wird.
Ich veranlasse, dass mein Auto repariert wird.
Ich lasse zu, dass meine Haare geschnitten werden.
Ich erlaube, dass meine Haare geschnitten werden.
Ich veranlasse, dass meine Haare geschnitten werden.
Having said that, actually the following constructions are fine:
sich seine Haare schneiden lassen
sich sein Auto reparieren lassen
While it's idiomatic to say the first one indeed,
Ich gehe morgen zum Friseur und lasse mir die Haare schneiden.
Du musst dir mal wieder die Haare schneiden lassen.
Er lässt sich von seiner Tante die Haare schneiden.
the second is rather uncommon. As already mentioned in my comments I guess you'll hear "sich sein Auto reparieren lassen" though, and I probably wouldn't notice an additional sich in most instances. However, the 'correct' sentences should be:
Er hat sich sein Auto von seinem Onkel reparieren lassen.
Er lässt sich sein Auto immer nur von der KFZ-Fachwerkstatt reparieren. [gemeint ist damit eine Werkstatt, die auf einen bestimmten Fahrzeugtyp spezialisiert ist, zum Beispiel Ford, VM, BMW]
I cannot give any answer on why, but what I can say for sure that you should not add sich if you use a definite or indefinite article.
Er lässt ein/das Auto reparieren.
This sentence is absolutely fine without the reflexive pronoun. But it's not correct to say:
*Er lässt sich ein/das Auto reparieren.
In case of using das it's already clear from context which car you're talking about. In case of ein it's not yet clear but an additional sich does not add any information. The necessary information will likely be given later.
See these two examples:
A: Der Meier fährt zwei Autos. Er lässt sich ein Auto reparieren. Ich weiß aber nicht, welches.
A: Der Meier lässt sich ein Auto reparieren.
B: Seit wann fährt er denn ein Auto?
A: Tut er nicht. Seine Sohnemann ist aber mit dem Fahrrad in des Nachbars Auto geknallt.
I guess it's obvious that sich is wrong in the second sentence. But you also see that there's no further information if you add sich in the first example. The usage of sich is just weird in both cases.
If you wanna know my opinion, you'll find the answer back in history. It's just developed that way. I don't agree that the issue is about redundant information. Again, compare those two instances and their different usages:
Er lässt die Haare schneiden. [Very rare at best, no explicit information at all but..]
Er lässt die Haare schneiden. – Welche? – Natürlich seine. Some people would even give you a sarcastic comment if you would ask such an ignorant question.
Er lässt sich die Haare schneiden. [No redundancy, and (probably most) common]
Er lässt sich seine Haare schneiden. [Redundant, but very common though]
Er lässt sein Auto reparieren. [No redundancy, and common]
Er lässt ein Auto reparieren. [No information at all, and very rare in use]
Er lässt sich sein Auto reparieren. [Redundancy, but not common anyways]
Er lässt sich ein Auto reparieren. [No redundancy; actually somewhat wrong, not in use anyways]