What is the difference between streng mit jmdm and streng gegen jmdn:
Ich bin streng damit, dass ich mein Haus sauber halte.
Er ist streng dagegen, dass seine Freundin mit ihren Freunden ausgeht.
Your example Ich bin streng damit, dass ich mein Haus sauber halte. would be more common as
Ich achte streng darauf, dass ich mein Haus sauber halte.
Another sentence with streng mit:
Er ist streng mit sich selbst.
He adheres strictly to his principles.
So streng mit jemandem/etwas sein means to be hard on someone or e.g. the results of his work.
Ich bin streng dagegen, dass …
I am strictly opposed to …
Same for streng gegen.
Ich bin streng darin, mein Haus sauber zu halten.
.
A short explanation in addition to very good examples in the other answers:
streng mit jemandem sein/umgehen
and streng in etwas sein
are fixed phrases meaning to be hard on someone
resp. to adhere to principles
.
In contrast, streng gegen etwas sein
is a combination of the fixed phrase gegen etwas sein
meaning to be opposed to
and the adverbial streng
meaning strictly
.
Let's use different examples:
Ich bin streng mit meinen Schülern
vs.
Ich bin streng gegen die Todesstrafe
The latter would usually be put as
Ich bin strikt gegen Todesstrafe (I'm strictly opposed to...)