The literal translation of
Would you like to do something?
Would you like to sleep?
Would you like to go to the cinema?
is
Würdest du es mögen, etwas zu tun?
Würdest du es mögen, zu schlafen?
Würdest du es mögen, ins Kino zu gehen?
But the phrase »würdest du es mögen« is no good style. It is grammatically correct, but it is bumpy and awkward German.
A better phrase with the same meaning, but of a much smoother style is »möchtest du«:
Möchtest du etwas tun?
Möchtest du schlafen?
Möchtest du ins Kino gehen?
(As you can see, now there is no »zu« before the infinitive!)
The verb »möchten« has a synonym, which is »wollen«. Both tranlate into the english verb »to want«.
See https://translate.google.at/?hl=de&tab=wT#de/en/Ich%20möchte%20gehen.
and https://translate.google.at/?hl=de&tab=wT#de/en/Ich%20will%20gehen.
So you also can say:
Willst du etwas tun?
Willst du schlafen?
Willst du ins Kino gehen?
Be aware, that »Ich will« does not translate into »I will«! It is »I want to«! (see also http://german.stackexchange.com/a/25474/1487https://german.stackexchange.com/a/25474/1487)
