This is not an Answer that covers auf jeden Fall and jedenfalls as well as their differences and commonalities. It is not even an answer that covers all of jedenfalls: I merely wish to address one particular aspect of it.

In legal writing, you want to be precise and concise. You want to minimize ambiguity. To this end, it helps not only if you choose your words carefully and are clear about what you want to say. You also want to avoid being verbose and using non-functional language that opens a door for ambiguity to creep back in.

[V]erbosity is always an enemy of clarity. --Bryan A. Garner_(PDF)

Wer es aber versäumt, bei jedem Wort genau zu sein, sagt leicht Dinge, die er nicht sagen will. --Tonio Walter

Hence there is no need for “filler words”, and if you see jedenfalls in legal language, you should assume it is there for a purpose. I shall demonstrate my contention using a collection of samples chosen by a leading search engine. (To narrow the search to legal writing only, I stuck in an abbreviation – BverfG for Germany's Federal Constitutional Court – that would not typically be found in other species of texts.)

I shall go through the search engine hits in order, leaving out only samples that evidently do not belong under the rubric of “legal writing”, such as journalism.

Die Verfassungsbeschwerde ist teilweise bereits unzulässig, im Übrigen jedenfalls unbegründet.

Does the meaning stay the same when we remove jedenfalls?

Die Verfassungsbeschwerde ist teilweise bereits unzulässig, im Übrigen unbegründet.

Absolutely not! The Court always checks first for procedural problems and whether the formal requirements for an appeal have been met. It found that parts of the appeal did not fulfill that criterion. However, that does not necessarily invalidate the appeal in its entirety. Next, it moved on to the “heart of the matter”, namely, whether the appellant had sufficiently substantiated her grievances. The Court found that she had not done so and hence, the appeal fails – irrespective of its partial failure on formal grounds earlier stated – in its entirety. Leaving out jedenfalls would omit this essential information.

Dieser grundsätzliche Freiheitsraum beider Ehepartner umfaßt vor allem die Freiheit, sich einer der eigenen Überzeugung gemäßen Glaubensrichtung anzuschließen und sein Leben diesem Glauben entsprechend einzurichten. Wieweit die Ehepartner dabei zur gegenseitigen Rücksichtnahme im einzelnen verpflichtet sind, kann hier auf sich beruhen. Teilen sie eine bestimmte religiöse Überzeugung, so kann von ihnen jedenfalls nicht verlangt werden, im Konfliktsfall entgegen ihrem gemeinsamen Glauben den anderen Partner von einer an diesem Glauben orientierten Entscheidung abzubringen.

Again I wish to quote Tonio Walter:

Zumindest hier und in anderen Fällen wohl auch, vielleicht aber auch nicht.

The Court found it important to note that this is not the only thing that cannot legally be demanded of husband and wife... but it wanted to leave open how far their protection against such demands extends, hence the jedenfalls.

Die KPD hat gegen das Verfahren eine Reihe grundsätzlicher Einwendungen erhoben. Es mag dahinstehen, ob es sich dabei um Zulässigkeitsfragen im eigentlichen Sinne handelt. Jedenfalls würden diese Einwendungen, wenn sie berechtigt wären, teils die Durchführung eines Verfahrens nach Art. 21 Abs. 2 GG überhaupt unmöglich machen, teils die Feststellung der Verfassungswidrigkeit der KPD ohne Rücksicht auf das Vorliegen des materiellen Tatbestandes des Art. 21 Abs. 2 GG von vornherein ausschließen. Sie müssen daher vorweg geprüft werden.

This is straightforward enough. In English we would write “In any case” or perhaps even “Be that as it may”. Again, jedenfalls is essential and must not be ignored.

And so on, down the list of search results. I find not a single instance where jedenfalls could have been omitted as a “filler word”.

To sum up, I disagree with the first Answer to this Question.

"Auf jeden Fall" can be used literally and as filling word, "jedenfalls" only as latter.

I believe I have shown otherwise.