Das eine ist ein Lehnwort, das andere ein deutsches Wort. Beide Begriffe bezeichnen annähernd dasselbe.
Das Wort »Seuche« ist mit dem Verb »siechen« verwandt, welches nichts anderes als »krank sein« bedeutet, aber veraltet ist. »Seuche« und »siechen« stammen vom alhochdeutschen »siuhhī« ab, was »Krankheit« bedeutet. Eine Seuche ist aber nicht einfach nur eine Krankheit, sondern eine ansteckende Krankheit, die viele Individuen befällt. (Beispiel: Lungenkrebs ist eine Krankheit, aber keine Seuche, weil Lungenkrebs nicht ansteckend ist. Panleukopenie ist eine Seuche, denn das ist eine ansteckende Infektionskrankheit die Katzen befällt.)
Das Wort »Epidemie« wurde im 18. Jahrhundert aus dem lateinischen »epidemia« entlehnt, das selbst wiederum griechische Wurzeln hat, nämlich ἐπί (epí) (»auf, bei, dazu«) und δῆμος (dēmos) (»Volk«).
Eine Epidemie befällt viele Menschen, bedroht aber nicht alle Menschen auf dem Planeten. Wenn das der Fall ist, spricht man von einer Pandemie. Das Wort »Seuche« kann auf beide Szenarien angewendet werden.
Ergänzung nach kurzer Diskussion in den Kommentaren:
Die Bezeichnung »Epidemie« (oder »Pandemie«) wird auf einen Krankheitsausbruch bei einer großen Zahl von Erkrankten angewendet, der mitunter in mehreren Wellen verlaufen kann. Epidemien sind zeitlich begrenzte Ereignisse. Den Begriff »Seuche« verwendet man für eine Krankheit, die solche Ausbruchswellen hervorbringen kann.
Die Pocken bezeichnet man auch heute noch als Seuche, obwohl - dank Durchimpfung der Gesamtbevölkerung - niemand mehr daran erkrankt und es keine Pocken-Epidemien mehr gibt.