I assume you are using these phrases in the context of placing an order.

schwarzen kaffee, bitte

is a short form of

Ich hätte gerne (einen) schwarzen Kaffee, bitte.
Ich möchte (einen) schwarzen Kaffee, bitte.

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"schwarzer kaffee, bitte" could be used to tell the black coffee to behave ;)

I assume you are using these phrases in the context of placing an order.

Schwarzen Kaffee, bitte!

is a short form of

Ich hätte gerne (einen) schwarzen Kaffee, bitte.
Ich möchte (einen) schwarzen Kaffee, bitte.

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“Schwarzer kaffee, bitte!” could be used to tell the black coffee to behave. ;)