"Eigentlich" ist nicht Umgangssprache. Es gibt je nach Situation einem Satz eine andere Betonung, eine andere Note.
Die Behauptung, man könne das Wort einfach weglassen (reines, überflüssiges Füllwort), ist so nicht haltbar. Schauen wir uns den ersten Satz an:
Eigentlich sollten Sie diese Arbeit doch schon bis gestern erledigt haben.
Er läßt sich verkürzen auf:
Sie sollten diese Arbeit bis gestern erledigt haben.
Auch "doch" und "schon" fallen hier raus. Sie sind ähnlich "überflüssig" wie "eigentlich". In diesem Satz verstärken aber alle drei Wörter den Vorwurf, daß die Arbeit noch nicht erledigt ist. Würde ich den Satz in einem Roman verwenden, überlegte ich mir, ob ich wirklich alle drei Verstärkungswörter verwendete. Aber auf alle verzichten würde ich nicht.
Zur eigentlichen Anwendung von "eigentlich":
- Es kann als Adjektiv verwendet werden:
Der eigentliche Name des Benutzers "Quatschmaus" ist Müller.
Hier wird der tatsächliche Sachverhalt betont. (Merke: tatsächlich ist "tatsächlich" hier eigentlich ein Synonym für "eigentich" (wenn ich jetzt nicht alle Nicht-Muttersprachler verwirrt habe, wann dann :)))
Es wird betont: Quatschmaus ist nicht der richtige Name.
- Es kann als Adverb verwendet werden (wie fast alle Adjektive):
Eigentlich habe ich das nicht so gemeint.
Wieder eine Betonung; hier wird der Unterschied zum äußeren Anschein klar gemacht. (Allerdings wird dies heutzutage nur als halbherziger Einwand wahrgenommen, da es schon millionenfach einfach nur so dahingesagt wurde.)
- Es kann als Partikel verwendet werden:
Kommt Ihr eigentlich morgen zu unserer Party?
Als Partikel verstärkt oder relativiert es Fragesätze (jedenfalls fallen mir nur Fragesätze ein). Die Frage klingt hier beiläufig. Es wird versucht sie nicht fordernd/befehlend klingen zu lassen.
Man merkt das gut im direkten Vergleich:
Kommt Ihr endlich mal zu einer unserer Partys?
In dieser Konstruktion ist ein direkter Vorwurf impliziert. Dieser wird mit "eigentlich" vermieden.