So, first of all, the last sentence is not correct:

Wir müssen einen besseren Platz um mit unserer Band zu üben finden.

Now let's see what this sentence exactly means:

Wir müssen einen besseren Platz finden, um Fußball zu spielen.

This means We have to find a better place in order to play football, otherwise we cannot play football at all. Whereas:

Wir müssen einen besseren Platz zum Fußballspielen finden. (please note that we write Fußballspielen without a space)

means: We have to find a better place where we can play football, but the place where we're now would probably also do.

Why? Saying um zu express purpose, as you said. For example Ich muss schwimmen lernen, um im Notfall nicht zu ertrinken. The zu is (in this case) more like English for:

Platz zum Spielen --> place for playing

 

Raum zum Lesen --> room for reading / reading room

 

eine angenehme Straße zum Joggen --> a nice street for jogging

So, first of all, the last sentence is not correct:

Wir müssen einen besseren Platz um mit unserer Band zu üben finden.

Now let's see what this sentence exactly means:

Wir müssen einen besseren Platz finden, um Fußball zu spielen.

This means We have to find a better place in order to play football, otherwise we cannot play football at all. Whereas:

Wir müssen einen besseren Platz zum Fußballspielen finden. (please note that we write Fußballspielen without a space)

means: We have to find a better place where we can play football, but the place where we're now would probably also do.

Why? Saying um zu express purpose, as you said. For example Ich muss schwimmen lernen, um im Notfall nicht zu ertrinken. The zu is (in this case) more like English for:

Platz zum Spielen --> place for playing

Raum zum Lesen --> room for reading / reading room

eine angenehme Straße zum Joggen --> a nice street for jogging