The reason why "mein" is correct in your example is the 'gender' of the word "Auto". More specifically, "mein" is for words that have would have the "das" article, while "meine" is female and used for words that would have the "die" article. For words with the male "der" article, "meinen" would be used here.
The same is basically true in the plural form, except words in the plural form usually use the female article "die" (in fact, I can't think of an example where that's not the case).
More examples:
- Ich wasche mein T-Shirt (das T-Shirt)
- Ich putze mein Haus (das Haus)
- Ich wasche mein Trinkglas (das Glas)
- Ich sehe mein Kind (das Kind)
- Ich sehe meine Kinder (die Kinder, plural)
- Ich sehe meine Tochter (die Tochter)
- Ich wasche meine Hose (die Hose)
- Ich wasche meine Socken (die Socken, plural)
- Ich wasche meine Mütze (die Mütze)
- Ich putze meine Wohnung (die Wohnung)
- Ich putze meinen Herd (der Herd)
- Ich putze meinen XBox-Controller (der Controller)
- Ich sehe meinen Sohn (der Sohn)
- Ich sehe meinen Hund (der Hund)
- Ich wasche meinen Pfannenwender (der Pfannenwender)