Ausharren und die intransitive Form von aushalten (nur diese, beachte den Link und siehe auch den Hinweis weiter unten!) sind Synonyme. Beide beschreiben das Verbleiben an einem Ort trotz widriger Umstände, die eigentlich das Verlassen des Ortes nahelegen würden. Ausharren betont dabei eher das Vergehen der Zeit, den Aspekt der Geduld, während aushalten eher das Ertragen der erwähnten Umstände und deren Bedrohlichkeit hervorhebt.
Mir fällt bei aushalten immer der Anfang der Ballade John Maynard von Theodor Fontane ein:
John Maynard war unser Steuermann,
Aus hielt er, bis er das Ufer gewann, …
John Maynard war ein Kapitän, der sein brennendes Schiff nicht verließ, sondern es bis ans Ufer steuerte und so alle Passagiere rettete, dies aber selbst mit seinem Leben bezahlte. Ausharren würde hier nicht passen, denn er trotzte Rauch und Feuer, wohingegen der Zeitraum eher kurz gewesen sein dürfte.
Aushalten hat außerdem noch weitere Bedeutungen, von denen vor allem etwas aushalten, also eine Sache oder einen Umstand (z.B. Schmerz) ertragen, deutlich häufiger verwendet wird als das hier betrachtete aushalten im Sinne von ausharren.
Abwarten ist hingegen ein eher neutraler Begriff, der das Warten auf das Eintreten einer Bedingung beschreibt oder auch das Aufschieben einer Entscheidung, bis sich neue Informationen ergeben.