Kurze Antwort:
Ein ganzer Satz steht niemals in irgend einem Fall. Nur bestimmte Teiles des Satzes stehen in bestimmten Fällen.
Im Detail:
Das Subjekt des Satzes ist die Nominalgruppe »der Glaube an ihren Mythos«. Das Verb ist das Wort »zerfällt«. Es steht, wie in jedem vollständigen deutschen Aussagesatz an der zweiten Position des Satzes. Die erste Position (alles von »mit« bis »bieten«) ist eine adverbiale Bestimmung, die einen ziemlich komplizierten inneren Aufbau hat: Der Kern »Fähigkeit« hat mehrere Attribute, eines davon ist ein Relativsatz, das ist der Teil, der zwischen den beiden Kommas steht.
Das Subjekt »der Glaube an ihren Mythos« ist - wie schon erwähnt - eine Nominalgruppe, und diese Gruppe steht als ganzes im Nominativ. Der Grund dafür ist, das diese Gruppe das Subjekt ist, und das Subjekt steht immer im Nominativ.
Der Kern dieser Gruppe ist das Substantiv »Glaube«. Links davon steht der bestimmte Artikel »der«. Rechts davon steht eine weitere innere Nominalgruppe: »an ihren Mythos«. Diese innere Nominalgruppe ist ein Attribut des Wortes »Glaube«. Sie gibt also Auskunft über die besondere Ausprägung des Glaubens.
Nun stehen innere attributive Nominalgruppen aber sehr häufig im Genitiv (»der Gaube des Volkes«; »das Haus meines Vaters« usw.). Das muss aber nicht immer so sein.
Das Substantiv »Glaube« stammt vom Verb »glauben« ab, und dieses Verb kann mit einem optionalen Präpositionalobjekt verwendet werden, das mit der Präposition »an« beginnt:
Markus glaubt an Gott.
Irene glaubt an das Gute im Menschen.
Simon glaubt an ihren Mythos.
Die Präposition »an« wiederum braucht rechts von sich ein Objekt. »An« ist zwar eine Wechselpräposition, die ihr Objekt sowohl im Dativ (»Schmutz klebt an dem Glas«) als auch im Akkusativ haben kann, aber in Verbindung mit dem Verb »glauben« ist nur der Akkusativ möglich. Die Satzteile »Gott«, »das Gute im Menschen« und »ihren Mythos« sind also innere Akkusativobjekte eines Präpositionalobjekts.
Das Substantiv »Glaube« erbt nun die Fähigkeit, ein Präpositionalobjekt an seiner Seite zu haben, vom Verb »glauben«. Es kann dasselbe Präpositionalobjekt bei sich haben, und dieses Präpositionalobjekt wird dadurch zu einem Attribut (nämlich zu einem Präpositionalattribut) des Substantivs »Glaube«.
Wir haben also folgendes:
- der Glaube an ihren Mythos
Das ist Subjekt des Satzes. Es ist eine Nominalgruppe, die im Nominativ steht. Diese Nominalgruppe besteht aus drei Teilen:
- der
Das ist ein Bestimmer (ein Determinativ). Determinative können mehrere verschiedene Wortarten sein, hier ist es ein bestimmter Artikel. Nachdem der Kern der Nominalgruppe ein maskulines Substantiv ist, muss auch der Artikel maskulin sein. Und weil der Kern (und damit die ganze Gruppe) im Nominativ steht, muss auch der Artikel im Nominativ stehen.
- Glaube
Das ist der Kern der Nominalgruppe. Er ist ein männliches Substantiv. Er steht im Nominativ und dadurch steht die Gruppe als Ganzes ebenfalls im Nominativ.
- an ihren Mythos
Das ist ein Attribut des Kerns der Nominalgruppe. Dieses Attribut ist ein Präpositionalobjekt. Es besteht aus zwei Teilen:
- an
Das ist die Präposition, die das Präpositionalobjekt einleitet. Die Präposition »an« braucht hier (weil sie in einem Attribut von Glaube exisitert) zwingend ein Akkusativobjekt rechts von sich.
- ihren Mythos
Das ist eine Nominalgruppe, und sie ist das innere Objekt des Präpositionalobjekts. Aus den zuvor genannten Gründen muss diese Gruppe im Akkusativ stehen. Diese Gruppe besteht selbst ebenfalls aus zwei Teilen:
- ihren
Das ist der Bestimmer, der die Nominalgruppe einleitet. Bestimmer sind häufig Artikel (daher nennt man Bestimmer manchmal auch "Artikelwörter"), aber hier ist es ein Possessivpronomen. Ein Possessivpronomen gibt eine Zugehörigkeit oder ein Besitzverhältnis an. Das Possessivpronomen hängt dabei sowohl vom Geschlecht des Besitzers als auch vom Geschlecht des Dings ab, das besessen wird (siehe unten). Hier ist der Besitzer feminin (»die Megamaschine«) und das besessene Ding ist maskulin (»der Mythos«). Außerdem muss der Bestimmer im selben Fall wie das Substantiv stehen, das er bestimmt, und das ist hier der Akkusativ.
- Mythos
Das ist der Kern der innersten Nominalgruppe. Es handelt sich hier um ein maskulines Substantiv, das im Akkusativ steht.
Possessivpronomen
Weiblicher Besitzer
Die Frau besitzt eine Gabel. Das ist ihre Gabel. Diese Gabel ist ihre. Diese Gabel ist die ihre.
Die Frau besitzt einen Löffel. Das ist ihr Löffel. Dieser Löffel ist ihrer. Dieser Löffel ist der ihre.
Die Frau besitzt ein Messer. Das ist ihr Messer. Dieses Messer ist ihres. Dieses Messer ist das ihre.
Die Frau besitzt viele Bestecke. Das sind ihre Bestecke. Diese Bestecke sind ihre. Diese Bestecke sind die ihren.
Männlicher Besitzer
Der Mann besitzt eine Gabel. Das ist seine Gabel. Diese Gabel ist seine. Diese Gabel ist die seine.
Der Mann besitzt einen Löffel. Das ist sein Löffel. Dieser Löffel ist seiner. Dieser Löffel ist der seine.
Der Mann besitzt ein Messer. Das ist sein Messer. Dieses Messer ist seines. Dieses Messer ist das seine.
Der Mann besitzt viele Bestecke. Das sind seine Bestecke. Diese Bestecke sind seine. Diese Bestecke sind die seinen.
Sächlicher Besitzer
Das Kind besitzt eine Gabel. Das ist seine Gabel. Diese Gabel ist seine. Diese Gabel ist die seine.
Das Kind besitzt einen Löffel. Das ist sein Löffel. Dieser Löffel ist seiner. Dieser Löffel ist der seine.
Das Kind besitzt ein Messer. Das ist sein Messer. Dieses Messer ist seines. Dieses Messer ist das seine.
Das Kind besitzt viele Bestecke. Das sind seine Bestecke. Diese Bestecke sind seine. Diese Bestecke sind die seinen.
Mehrere Besitzer
Die Leute besitzen eine Gabel. Das ist ihre Gabel. Diese Gabel ist ihre. Diese Gabel ist die ihre.
Die Leute besitzen einen Löffel. Das ist ihr Löffel. Dieser Löffel ist ihrer. Dieser Löffel ist der ihre.
Die Leute besitzen ein Messer. Das ist ihr Messer. Dieses Messer ist ihres. Dieses Messer ist das ihre.
Die Leute besitzen viele Bestecke. Das sind ihre Bestecke. Diese Bestecke sind ihre. Diese Bestecke sind die ihren.