Die Bedeutung ist sehr ähnlich und in den meisten Fällen können die Wörter als synonym betrachtet werden.
Allerdings gibt es auch Fälle, in denen nur eines der Wörter passt. Das ist beispielsweise so, wenn verweigern als Synonym für sich weigern benutzt wird. Beispiele:
Ich verweigere, das zu tun.
D.h. der Sprecher weigert sich, das zu tun. "Ich verwehre, das zu tun" bedeutet dagegen, dass der Sprecher jemanden etwas verbietet. Ähnlich gelagert ist
Sie verweigert sich dieser Zumutung.
D.h. sie weist die Zumutung zurück. Letztes Beispiel:
Das Pferd verweigerte den Sprung über das Hindernis.
Und hier noch das Sprichwort aus der Frage:
Ein Gläschen in Ehren kann niemand verwehren.
Einmal davon abgesehen, dass es ich um einen Reim handelt, bedeutet der Spruch, dass einem das Trinken eines Gläschen Alkohols von niemandem verboten werden kann.
"Ein Gläschen in Ehren kann niemand verweigern" hat m.E. zwei Interpretationen: (1) Dass man das angebotene Gläschen nicht zurückweisen soll. (2) Dass der Gastgeber gehalten ist, seinem Gast ein Gläschen anzubieten.